Functieonderzoek: extremen

Extremen van een functie zijn punten waarin de functie haar maximale of minimale waarden aanneemt.

Extremen van een functie

We onderscheiden twee basistypen extremen — minimum en maximum. Verder onderscheiden we globaal maximum/minimum en lokaal maximum/minimum. Een globaal maximum is een punt waarin de functie de grootste waarde heeft van alle punten van het domein. Als de functie deze waarde maar in één punt aanneemt, zeggen we dat het om een scherp maximum gaat. Een functie kan namelijk in meer punten de hoogste waarde hebben, net zoals bijvoorbeeld twee verschillende werknemers allebei het hoogste salaris van € 15 000 per maand kunnen verdienen. De definities van minimum en maximum staan in het artikel over functies.

Een lokaal minimum definiëren we alleen op een deel van het domein van de functie, meestal op een interval. De definitie van een lokaal maximum en minimum:

• De functie f heeft in het punt M ∈ D_f een lokaal maximum als er een omgeving U = ⟨M − ϵ, M + ϵ⟩ bestaat, met ϵ > 0, zodat voor alle x ∈ U ∩ D_f geldt f(x) ≤ f(M).
• De functie f heeft in het punt m ∈ D_f een lokaal minimum als er een omgeving U = ⟨m − ϵ, m + ϵ⟩ bestaat, met ϵ > 0, zodat voor alle x ∈ U ∩ D_f geldt f(x) ≥ f(m).

Een voorbeeld van een functie die oneindig veel extremen heeft, is de functie f(x) = x · sin x:

En waarom staat er in de definitie “voor alle x ∈ U ∩ D_f”, dus waarom staat daar die doorsnede met het domein? Bijvoorbeeld omdat de functie die bij deze grafiek hoort…

…in het punt m = 1 een minimum heeft, maar in elke linkeromgeving van het punt m = 1 is de functie niet gedefinieerd, dus in deze linkeromgeving zou niet gelden dat f(x) ≥ f(m). Als we ook nog de doorsnede met het domein nemen, houden we alleen de rechteromgeving over.

Basisprincipe voor het zoeken van extremen

Maar laten we nu terugkeren naar de grafiek van de functie f(x) = x² + 1 met drie raaklijnen:

We richten ons vooral op de raaklijn c. We zien dat de raaklijn de grafiek raakt in het minimum van de functie x² + 1 en horizontaal is, dus evenwijdig aan de x-as. Ze maakt dus een hoek van 0 graden met de positieve x-as. Wat zou er gebeuren als we de functie omdraaiden en de functie in plaats van een minimum een maximum had? De grafiek van de functie −x² + 1:

Merk op dat de raaklijn c, die door het maximum van de functie −x² + 1 gaat, weer evenwijdig is aan de x-as. Hieruit volgt een regelmaat: als we het minimum of maximum van een functie zoeken, zoeken we een raaklijn die evenwijdig is aan de x-as, waarvan de tangens van de hoek met de x-as gelijk is aan nul. Uit het vorige plaatje kun je zien dat tan(0°) = 0. In de context van afgeleiden zoeken we dus een punt waarvoor geldt dat de afgeleide gelijk is aan nul: f′(x) = 0.

We berekenen het extreem van onze favoriete functie f(x) = x² + 1 met afgeleiden. De afgeleide van de functie f is f′(x) = 2x. Verder zoeken we wanneer de eerste afgeleide gelijk is aan nul, dus we lossen de vergelijking f′(x) = 0 op; na invullen 2x = 0. Dat geldt triviaal voor x = 0. We zien dat dit klopt met het feit dat de functie f(x) = x² + 1 in het punt x = 0 een globaal minimum heeft.

Uitzonderingen op de “regel”

Je zou willen zeggen dat een functie in het punt x een extreem heeft dan en slechts dan als de afgeleide in dit punt gelijk is aan nul. Dat is helaas niet waar, zo eenvoudig is het niet. Kijk naar de volgende voorbeelden:

• We proberen de extremen van de functie f(x) = x³ te vinden. De eerste afgeleide van deze functie is f′(x) = 3x². We lossen de vergelijking f′(x) = 0 op, dus 3x² = 0. Dat geldt duidelijk voor x = 0. Maar heeft de functie x³ in het punt x = 0 een extreem? Kijk naar de grafiek:

  

  We zien dat er in het punt x = 0 geen extreem van de functie optreedt. Noch een globaal, noch een lokaal. Waarom is de afgeleide in dit punt dan toch nul? Omdat de raaklijn t in dit punt nu eenmaal evenwijdig is aan de x-as, zie het volgende plaatje:

  

• Wat dacht je van de aardige functie f(x) = |x|, dus de absolute waarde van x? Uit de grafiek kunnen we aflezen dat ze in het punt x = 0 een globaal minimum heeft:

  

  Maar deze functie heeft in het punt x = 0 geen afgeleide! In het punt x = 0 heeft de functie geen raaklijn, want het is moeilijk te zeggen hoe die raaklijn eruit zou kunnen zien.

Er geldt dus:

• Als de functie f in het punt x een extreem heeft, dus een minimum of maximum, en als in dit punt een afgeleide bestaat (!), dan is deze afgeleide nul. Het kan gebeuren dat de functie in het punt x een extreem heeft en dat de functie in dat punt tegelijk geen afgeleide heeft.

• Als de functie f in het punt x een afgeleide gelijk aan nul heeft, dan kan er in dit punt een extreem zijn, maar dat hoeft niet.

Hoe vind je de extremen van een functie

We gaan ervan uit dat we als invoer een functie f hebben die differentieerbaar is op haar hele domein. In de eerste stap differentiëren we de functie f, waardoor we de functie f′ krijgen. Verder stellen we de eerste afgeleide gelijk aan nul, dus we lossen de vergelijking f′(x) = 0 op. De oplossingen van deze vergelijking zijn de punten die “verdacht” zijn van een extreem, oftewel stationaire punten.

Verder moeten we bepalen welke van die stationaire punten extremen zijn. Dat kunnen we bijvoorbeeld uit de tweede afgeleide van de functie f afleiden. Als s een stationair punt is, dus als geldt f′(s) = 0, dan zit er in het punt s een minimum als f′′(s) > 0, terwijl er in het punt s een maximum zit als f′′(s) < 0.

Als ook de tweede afgeleide in dit punt nul is, dan moeten we verder differentiëren, daarover straks meer. Nu een voorbeeld. Stel dat we de functie f(x) = 3x² + 6x hebben. Bepaal de extremen ervan.

We berekenen de eerste afgeleide: f′(x) = 6x + 6. We stellen de eerste afgeleide gelijk aan nul:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

In het punt x = −1 zit dus een stationair punt; een punt dat verdacht is van een extreem. We berekenen de tweede afgeleide. Die is gelijk aan de functie f′′(x) = 0x + 6. Na invullen van het punt x = −1 krijgen we f′′(−1) = 6. Het resultaat is positief, de functie heeft in het gegeven punt een minimum. De grafiek:

Wat als ook de tweede afgeleide nul is?

We proberen het extreem van de functie f(x) = x⁴ te vinden, de grafiek:

De eerste afgeleide van deze functie is f′(x) = 4x³. De oplossing van de vergelijking f′(x) = 0 is uiteraard het enige stationaire punt s = 0. We berekenen de tweede afgeleide, die is gelijk aan f′′(x) = 12x². In deze tweede afgeleide vullen we het stationaire punt s in, dus we krijgen

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

We hebben nul gekregen en volgens wat we tot nu toe hebben gezegd, kunnen we dus niet zien of er in het punt een extreem zit of niet. Maar wij zien dat er in het punt een extreem zit. Als deze situatie optreedt, differentiëren we verder. We zoeken de derde afgeleide en vullen het stationaire punt s in. Als er een getal ongelijk aan nul uitkomt, zit er in het punt s een zogenoemd buigpunt (daarover straks meer). Als er nul uitkomt, differentiëren we verder. Bij de vierde afgeleide beslissen we net als bij de tweede — we vullen het stationaire punt in en een positieve functiewaarde betekent dat er een minimum zit, een negatieve dat er een maximum zit.

De derde afgeleide is gelijk aan f′′′(x) = 24x, na invullen hebben we f′′′(0) = 0, dus we differentiëren verder. De vierde afgeleide heeft de vorm f′′′′(x) = 24. We zien dat de vierde afgeleide altijd positief is, waaruit we — net als bij de tweede afgeleide — kunnen afleiden dat de functie in het punt s = 0 een minimum heeft. En dat klopt ook.

Samenvatting van de werkwijze om extremen van een functie te vinden

1. We hebben een gegeven functie f die differentieerbaar is.

2. We differentiëren de functie f.

3. We lossen de vergelijking f′(x) = 0 op. Alle s die oplossingen van de vergelijking zijn, noemen we stationaire punten, oftewel punten die verdacht zijn van een extreem.

4. We berekenen de tweede afgeleide.

5. We berekenen de waarde van de tweede afgeleide in alle stationaire punten s. Als f′′(s) > 0, heeft de functie in het punt s een minimum, als f′′(s) < 0, dan zit er in het punt s een maximum. Als f′′(s) = 0, dan differentiëren we verder.

   Tip: als je niet wilt onthouden of de tweede afgeleide positief of negatief moet zijn om op die plek een maximum of minimum te hebben, leid het dan gewoon af uit bijvoorbeeld de functie x². De grafiek van deze functie zou je moeten kennen en de eerste en de tweede afgeleide zijn eenvoudig: f′(x) = 2x en f′′(x) = 2. De tweede afgeleide is dus altijd positief en de functie x² heeft in het punt x = 0 een minimum.

6. We berekenen de derde afgeleide. Als f′′′(s) ≠ 0, dan zit er in het punt s een buigpunt, anders differentiëren we verder.

7. We berekenen de vierde afgeleide. Als f′′′′(s) ≠ 0, dan zit er in het punt een extreem. Anders differentiëren we verder.

8. En zo verder en zo verder. Als de eerste afgeleide die niet nul is een oneven afgeleide is, gaat het om een buigpunt. Als het een even afgeleide is die niet nul is, gaat het om een extreem.