Eenheidscirkel

De eenheidscirkel is een gewone cirkel, namelijk een cirkel met straal gelijk aan één. De eenheidscirkel dient om de definities van de afzonderlijke goniometrische functies mooi weer te geven.

Wat is de eenheidscirkel

De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van lengte één, waarvan het middelpunt in de oorsprong van het assenstelsel ligt, dus in het punt (0, 0). Kijk naar de volgende afbeelding:

De cirkel is verder verdeeld in vier delen, die we kwadranten noemen. Rechtsboven ligt het eerste kwadrant, linksboven het tweede, linksonder het derde en rechtsonder het vierde. Omdat we deze cirkel gebruiken om hoeken weer te geven, zijn op de cirkel de graden aangegeven. Waar nul graden staat, begint meestal het been van de hoek, dat tegen de wijzers van de klok in draait. Daarom is het punt (0, 1) aangegeven met een rechte hoek.

Definitie van sinus en cosinus op de cirkel

Op de eenheidscirkel kun je de afzonderlijke goniometrische functies heel mooi weergeven. Eerst zetten we een hoek uit op de eenheidscirkel en daarna laten we zien waar we op de eenheidscirkel de waarden van de afzonderlijke functies kunnen aflezen.

We hebben op de cirkel de hoek AOB uitgezet (rood). Deze hoek hebben we alfa genoemd. De benen van de hoek snijden de eenheidscirkel in twee punten: A en B. Het punt B is voor ons belangrijk. Als we vanuit het punt B een lijn trekken evenwijdig aan de x-as (in de afbeelding is dat de gestippelde horizontale lijn), dan snijdt deze lijn de y-as in precies één punt. Dat punt noemen we P_s. Daarbij geldt dat de lengte van het lijnstuk OP_s (het groene lijnstuk) gelijk is aan de sinus van de hoek alfa.

Omdat we ons in de eenheidscirkel bevinden, die zijn middelpunt in de oorsprong van het assenstelsel heeft, geldt dat de lengte van het lijnstuk OP_s (het groene lijnstuk) gelijk is aan de y-coördinaat van het punt P_s, en dat is gelijk aan de y-coördinaat van het punt B.

Op dezelfde cirkel kunnen we ook de cosinus aflezen. We trekken dus een lijn evenwijdig aan de y-as door het punt B. Deze lijn snijdt de x-as in een punt dat we P_c noemen. De lengte van het lijnstuk OP_c is dan gelijk aan de cosinus van de hoek alfa. Ook hier kunnen we zeggen dat deze waarde gelijk is aan de x-coördinaat van het punt B en P_c.

Definitie van tangens en cotangens

Net zoals we op de eenheidscirkel de sinus en cosinus hebben gedefinieerd, kunnen we hier de tangens en cotangens definiëren. Voor de overzichtelijkheid laten we eerst zien waar op de eenheidscirkel de tangens voorkomt. Daarvoor hebben we nog een lijn nodig. Het is de lijn die evenwijdig is aan de y-as en door het punt A gaat, oftewel door het punt (1, 0). In de volgende afbeelding is dat de blauwe lijn:

Deze lijn snijdt de halve lijn (het been van de hoek) OB in één punt, dat we P_t noemen. De lengte van het lijnstuk AP_t is dan gelijk aan de tangens van de hoek alfa. Ook hier geldt dat het genoeg is om de y-coördinaat van het punt P_t te nemen en we krijgen ook de tangens van de hoek alfa.

Om op de eenheidscirkel de cotangens weer te geven, hebben we nog een lijn nodig. Deze keer gaat het om een lijn die door het punt (0, 1) gaat en evenwijdig is aan de x-as. Ook die is blauw gemarkeerd:

Deze lijn snijdt de halve lijn (het been van de hoek) OB in één punt, dat we P_k noemen. De lengte van het lijnstuk CP_k is dan gelijk aan de cotangens van de hoek alfa. Zoals altijd kunnen we alleen de x-coördinaat van het punt P_k nemen en krijgen we de cotangens van de hoek.

De vraag is wat er gebeurt als de hoek alfa groter is dan 90 graden bij de tangens en groter dan 180 graden bij de cotangens, omdat de lijn in die gevallen het been van de hoek niet snijdt, zie de volgende afbeelding:

Op dat moment maken we van de halve lijn OB een lijn en die lijn snijdt de lijn p dan wel.

Op dezelfde manier zouden we te werk gaan bij de tangens.

Wanneer zijn tangens en cotangens niet gedefinieerd

Op de eenheidscirkel valt ons iets interessants op. Als de hoek alfa gelijk is aan 180 graden, dan snijden de lijn p en het been van de hoek elkaar nooit, omdat ze evenwijdig zijn. Hoe lossen we dit probleem op? Op geen enkele manier, de cotangens van 180 graden is niet gedefinieerd. Op dezelfde manier is de tangens van 90 graden niet gedefinieerd, omdat zo'n been evenwijdig is aan de y-as en dus ook evenwijdig aan de lijn waarmee het zou moeten snijden. De volgende afbeelding laat dat tenminste voor de cotangens zien.