✖

Even en oneven functies

Bij functies kunnen we hun pariteit bepalen, dus we kunnen bepalen of een functie even of oneven is. In het uiterste geval kan een functie tegelijk even en oneven zijn, maar meestal is ze noch even noch oneven.

Even functies

Een functie is even als ze aan een eenvoudige regel voldoet — als je in de functie het element x invult en daarna het tegengestelde element −x, dan moet de functie dezelfde uitkomst geven. Een typische even functie is de functie f(x) = x2. Als je haar aanroept met de argumenten 6 en −6, krijg je: f(6) = 36 en f(−6) = 36. Het argument verschilde alleen in het teken, de uitkomst is dus hetzelfde.

Een formele definitie zou er zo uit kunnen zien. Als de functie f even is, dan moet ze voldoen aan

∀x∈Df:f(x)=f(−x)

Voor alle x uit het domein van de functie moet gelden dat ook als we de functie aanroepen met het tegengestelde argument, dus −x, de functiewaarden gelijk moeten zijn.

Hoe zie je een even functie terug in de grafiek? Als we x en −x in de functie invullen, krijgen we dezelfde y. Als we daar even over nadenken: x en −x liggen op de x-as even ver van de oorsprong en hebben dezelfde y-coördinaat. Dat betekent dat de grafiek van een even functie symmetrisch is ten opzichte van de y-as. Ter illustratie de grafiek van de functie x2:

Grafiek van de even functie f(x)=x^2

Van de bekende functies zijn de volgende even: de cosinus en functies van de vorm f(x) = xa, waarbij a een even getal is. Van een oorspronkelijk oneven functie maakt de absolute waarde een even functie, bijvoorbeeld f(x) = |x|, f(x) = |x3|, f(x) = |1/x|.

Oneven functies

Een oneven functie moet aan vergelijkbare regels voldoen als een even functie. De functie f is dus oneven als ze aan deze regel voldoet:

∀x∈Df:f(−x)=−f(x)

In de praktijk betekent dit dat als het punt (a, b) bij een oneven functie hoort, ook het punt met de tegengestelde coördinaten, dus (−a, −b), erbij moet horen. Een voorbeeld van een oneven functie is de functie f(x) = x3. Als we voor x een twee invullen, krijgen we:

f(−x)=f(−2)=(−2)3=−8

In de tweede uitdrukking zouden we krijgen

−f(x)=−f(2)=−(23)=−8

Hoe zie je dat in de grafiek? Als bij de functie het punt (a, b) en tegelijk het punt (−a, −b) moeten horen? Als je het tekent, zie je dat zo'n grafiek puntsymmetrisch is ten opzichte van de oorsprong van het assenstelsel, dus het punt (0, 0). De grafiek van de functie f(x) = x3 zie je in de volgende afbeelding.

Grafiek van de oneven functie f(x)=x^3

Van de bekende functies zijn de volgende oneven: f(x) = xa, waarbij a oneven is, en f(x) = ax, waarbij a een willekeurig reëel getal is (dat is dus een lineaire functie zonder constante term). Verder ook nog f(x) = a/x of de sinus.

Controleren of een functie even is

Hoe controleren we of een functie even is? Aan de hand van de definitie. Neem bijvoorbeeld de bekende functie f(x) = x2. We controleren met de definitie. Die zegt ons dat f(x) = f(−x). Als de functie even is, moet ze voldoen aan:

x2=(−x)2

Min x in het kwadraat kunnen we volgens de regels voor het rekenen met machten zo uitschrijven:

x2=(−1)2⋅x2

Min één in het kwadraat is één, dus we krijgen gewoon weer x2.

x2=1⋅x2

Is de volgende functie even?

f(x)=|1x|

We vullen in de definitie in:

|1x|=|1−x|

Deze breuken kunnen we herschikken: in plaats van de absolute waarde om de hele breuk te hebben, verplaatsen we haar naar de teller en de noemer.

|1||x|=|1||−x|

We passen de noemer van de tweede breuk aan, want volgens de definitie van de absolute waarde geldt zeker |x| = |−x|.

|1||x|=|1||x|

Nu krijgen we een gelijkheid.

Grafiek van de functie f(x)=|1/x|

Controleren of een functie oneven is

Hoe controleren we of een functie oneven is? Weer aan de hand van de definitie. Die zegt dat de functie f oneven is als

f(−x)=−f(x)

We beginnen met de functie f(x) = x3. We vullen in de definitie in:

(−x)3=−x3

De linkerkant kunnen we net als in het vorige voorbeeld uitschrijven:

(−1)3⋅x3=−x3

Min één tot de derde macht is min één:

−1⋅x3=−x3

Dus we hebben een gelijkheid:

−x3=−x3

De functie is oneven.

Is de gegeven functie oneven?

f(x)=2x

We vullen in de definitie in:

2−x=−2x

Er valt hier niet veel te herleiden, het minteken in de eerste breuk halen we gewoon buiten de hele breuk, zodat we de gelijkheid krijgen:

−2x=−2x

De functie is oneven.

Grafiek van de functie f(x)=2/x

Noch even, noch oneven

Een functie hoeft niet even of oneven te zijn. Zulke functies zijn waarschijnlijk in de meerderheid. Een voorbeeld is de lineaire functie f(x) = x + 1. We proberen in te vullen in de definitie van even:

x+1=−x+1

We maken x vrij:

x+1=−x+12x+1=12x=0

De gelijkheid geldt niet voor alle x, maar alleen voor sommige, dus de functie is niet even. Nu de onevenheid:

−x+1=−(x+1)−x+1=−x−10x=−2

Deze vergelijking heeft zelfs nooit een oplossing, daarom is de functie niet oneven.

Grafiek van de functie f(x)=x+1

Zowel even als oneven

Bestaat er een functie die tegelijk even en oneven is? Bestaat er een grafiek die symmetrisch is ten opzichte van de y-as en tegelijk ten opzichte van de oorsprong? Het antwoord is ja. Er bestaat precies één functie die tegelijk even en oneven is, en dat is de constante functie f(x) = 0. De grafiek van de functie valt precies samen met de x-as.

Opmerking: in werkelijkheid bestaan er oneindig veel van zulke functies, want we kunnen een functie g(x) definiëren die hetzelfde voorschrift heeft, maar op een ander domein is gedefinieerd. We kunnen bijvoorbeeld de functie g(x) = 0 hebben, waarvan het domein alleen de natuurlijke getallen zijn. Deze functie verschilt van de functie f(x), die is gedefinieerd op de reële getallen. Het voorschrift is echter altijd hetzelfde.

Som en product van functies

Er ontstaat een interessante situatie als we twee functies hebben die oneven of even zijn en we proberen ze op te tellen, te vermenigvuldigen enzovoort. De som van twee even functies is bijvoorbeeld weer een even functie. Er zijn heel veel regels en combinaties, en die kun je het best in een overzichtelijke tabel opzoeken.