Wat is een functie

Een functie is een absoluut fundamenteel begrip in de wiskunde, dat je goed moet begrijpen. De wiskunde zit vol functies en menig symbool dat je al sinds de basisschool kent, is in werkelijkheid een functie.

De analogie van een functie

Heb je weleens een koffieautomaat gezien? Wat is typerend voor zo'n automaat? Je gooit er wat munten in en de automaat geeft je een kop koffie. Als je meer munten in de automaat gooit, krijg je betere koffie terug.

Een functie is zo'n wiskundige koffieautomaat. Je stopt er een invoer (munten) in en de functie geeft een uitvoer (koffie) terug. Dat is het hele basisprincipe van een functie.

De taak van een functie is om een invoer te nemen, een getal, daar binnenin iets mee te doen, het te veranderen en dat nieuwe getal vervolgens als uitvoer terug te geven.

Basisbegrippen

Elke functie heeft een naam. De meest gebruikte naam voor een functie is de letter “f”. Voor een functie hebben we een voorschrift nodig dat bepaalt hoe de functie moet werken, net zoals de automaat moet weten hoe hij de koffie moet zetten. Om te beginnen kunnen we een functie zien als een tabel met twee kolommen. In de eerste kolom staat onze invoer (bij de automaat de waarde van de munten) en in de tweede de uitvoer van de functie (de koffie).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{invoer}& \text{uitvoer}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

We zien dat de uitvoer steeds twee keer zo groot is als de invoer, maar dat hoeft helemaal niet zo te zijn. We kunnen ook een tabel als deze hebben:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{invoer}& \text{uitvoer}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Om te beginnen is de eerste, regelmatige tabel voldoende. We kunnen zeggen dat deze tabel een functie f definieert. Wat doet de functie? We geven de functie een invoer, de functie zoekt die invoer op in de eerste kolom van de tabel en geeft de uitvoer op dezelfde rij terug. Als we de uitvoer van de functie voor het getal drie zoeken, schrijven we dat zo op:

$$f(3)=6$$

We hebben de rij gevonden waar de invoer gelijk is aan drie, en op diezelfde rij was de uitvoer gelijk aan zes. Verder geldt f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 en f(5) = 10. Alle functies met tabellen opschrijven lijkt voor een paar getallen misschien overzichtelijk, maar als we met meer getallen werken, is het buitengewoon onpraktisch. Daarom hebben we een andere schrijfwijze nodig. We kunnen de functie geven met een functievoorschrift. In onze tabel gold dat de uitvoer twee keer zo groot is als de invoer. Dat kunnen we met een functievoorschrift zo opschrijven:

$$f(x)=2\cdot x$$

Dit is een eenvoudige lineaire functie, maar dat maakt nu nog niet uit. Wat vertelt deze uitdrukking ons? De letter f is de naam van de functie, dat weten we al. De uitdrukking tussen de haakjes, de letter x, is de parameter van de functie. In de analogie met de automaat zou dat de “waarde van de ingeworpen munten” zijn. De parameter van de functie is een variabele waarin de waarde wordt opgeslagen die wij doorgeven. Als we twintig cent in de automaat (functie) zouden gooien, zou in de functie gelden dat x = 20. En met die waarde gaat de automaat of functie dan op zijn eigen manier verder aan de slag.

Daarna komt het isgelijkteken en achter het isgelijkteken staat het eigenlijke voorschrift, dat ons vertelt wat er met de waarde x moet gebeuren. We zien dat de functie de doorgegeven waarde x met twee vermenigvuldigt. Dat is alles.

Meer voorbeelden van functies

Aan deze rechterkant kan vrijwel elke wiskundige uitdrukking staan. Er kunnen ook andere functies staan en er kunnen voorwaarden staan die de definitie preciezer maken. We zouden bijvoorbeeld in woorden een functie kunnen definiëren: “als de invoer een even getal is, geef nul terug, als de invoer een oneven getal is, geef één terug”. Dat is een functie die alleen een één of een nul teruggeeft, maar het is wel een functie.

Het is belangrijk te begrijpen dat je een functie bijna op elke manier kunt definiëren. Ook voor een functie gelden natuurlijk regels, maar die zijn nu niet zo belangrijk — een van die regels komt bovendien meteen in het volgende hoofdstuk aan bod. De definitie van een functie hoeft op het eerste gezicht geen enkele zin te hebben en geen enkele ordening te volgen. Een functie mag best altijd het dubbele van de invoer teruggeven, behalve wanneer de invoer zeven is. Dan geeft hij negen terug. Dat is waarschijnlijk behoorlijk onzinnig, maar ook dit is een functie.

Ook een groot deel van de bewerkingen die we buiten de wiskunde doen, kunnen we een functie noemen. Als je bijvoorbeeld de lengte van het woord “mammoet” telt, kunnen we zeggen dat je een functie met de naam “woordlengte” hebt aangeroepen en dat je daaraan het woord “mammoet” als argument hebt doorgegeven. De functie heeft de letters in het woord geteld en het getal zeven als uitvoer teruggegeven.

Wil je uitrekenen hoeveel samengestelde interest je betaalt over een lening of een hypotheek? Ook dat kan een functie regelen. Je definieert eenvoudig een functie die de hoogte van de rente na bijvoorbeeld tien jaar berekent. Wil je weten hoeveel kilometer een auto nog kan rijden met een bepaald aantal liters benzine? Definieer een functie! Als de auto gemiddeld bijvoorbeeld 11 kilometer op een liter benzine rijdt, kunnen we de functie die berekent hoeveel kilometer we nog kunnen rijden zo definiëren:

$$\text{afstand}(x)=11\cdot x$$

Als er nog maar 17 liter benzine over is, berekenen we de afstand door de functie zo aan te roepen:

$$\text{afstand}(17)=11\cdot 17=187$$

Een functie is kortom alles wat bij een invoer een getal teruggeeft. Geef de hemelsbrede afstand van Utrecht naar een bepaalde stad, geef de lengte van het langste nummer op een bepaald album, geef het aantal haren op het hoofd van een bepaald persoon, geef het aantal poten van een bepaald dier, enzovoort.

De basiseigenschap van een functie

Een buitengewoon belangrijke voorwaarde voor een functie is, als we terugkeren naar de tabel, dat in de eerste kolom met de invoer geen enkele waarde twee keer voorkomt. Als de tabel er zo uit zou zien:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{invoer}& \text{uitvoer}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… dan zouden we niet kunnen zeggen wat de functie moet teruggeven als we er een één in stoppen:

$$f(1)=?$$

Een functie moet duidelijk gedefinieerd zijn. Het kan niet gebeuren dat hij voor dezelfde invoer twee verschillende uitkomsten kan geven. Dat kan gewoon niet. We eisen van een functie dat hij bij dezelfde invoer altijd dezelfde uitvoer teruggeeft. Let op: deze eis geldt niet voor de tweede kolom, de uitvoer. De uitvoerwaarden mogen best gelijk zijn, dat is geen probleem. Deze tabel zou wel geldig zijn:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{invoer}& \text{uitvoer}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Het berekenen van een functie

We weten nu hoe de verschillende delen van een functie heten en hoe we een functie ongeveer definiëren. Nu leggen we stap voor stap uit hoe het berekenen van een functie in zijn werk gaat. We hebben dus de functie f(x) = 2x. Wat gebeurt er als we een drie in de functie stoppen? Een drie in de functie stoppen betekent voor ons dat we voor de parameter van de functie het getal drie invullen. Het argument van de functie is drie, dus we vullen overal voor x een drie in:

$$f(3)=2\cdot 3$$

We zien al dat de functie een zes teruggeeft, net als de tabel van daarnet. Die was echter beperkt tot slechts vijf getallen, terwijl onze nieuwe definitie ook andere getallen aankan:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Deze werkwijze, waarbij we voor de variabele x concrete waarden invullen, noemen we het berekenen van de functie, het aanroepen van de functie of ook wel het toepassen van de functie. Als we dus zeggen dat we “de functie f aanroepen met argument 5”, willen we de waarde f(5) berekenen, wat in ons geval f(5) = 2 · 5 = 10 is.

Nog twee begrippen om te onthouden. Datgene waarmee we de functie aanroepen (wat we voor x invullen) heet het argument van de functie. Dat kan wat verwarrend lijken, maar als we de functie f(x) hebben en die aanroepen met de waarde drie, f(3), dan is x de parameter van de functie en is 3 het argument van de functie. Het argument is de waarde zelf waarmee we de functie aanroepen. De parameter is de oorspronkelijke variabele waarmee de functie is gedefinieerd. Het is eerder een technisch detail.

Een ander begrip is de functiewaarde, de waarde die de functie als uitvoer teruggeeft. De vorige functie gaf bij het aanroepen met het getal drie het getal zes terug. Het getal zes is in dit geval dus de functiewaarde. In een hele zin zeggen we: “de functie f heeft in het punt drie de functiewaarde zes”. Met het woord “punt” bedoelen we in deze context meestal het argument van de functie.

Functies in de gewone wiskunde

In de gewone wiskunde komen heel wat functies voor die een heel speciale schrijfwijze hebben, zodat het er niet eens uitziet alsof het functies zijn. De absolute waarde is bijvoorbeeld niets anders dan een functie. Als invoer neemt hij een getal en als uitvoer geeft hij hetzelfde getal terug of het getal met het tegengestelde teken.

Je herkent vast het symbool voor de wortel: $\sqrt{}$. Ook dit is een functie. Als invoer neemt hij een argument en als uitvoer geeft hij de vierkantswortel terug. Op dezelfde manier is ook het kwadraat, de tweede macht x², een functie. Als invoer neemt hij een getal en als uitvoer geeft hij het kwadraat van dat getal.

Het is best belangrijk om je te realiseren dat de meeste van zulke magische symbolen in werkelijkheid niets ingewikkelder zijn dan een gewone functie. Kijk niet naar het symbool $\sqrt{}$ als naar een raar gebogen figuurtje, maar kijk naar dat symbool als naar een functie.

Vooral voor een beginner kan een uitdrukking met een hele hoop wiskundige symbolen verwarrend zijn. Daar weet de arme beginner voor de helft geen raad mee, terwijl het gewoon om een paar samengestelde functies gaat. Laten we dit voorbeeld erbij pakken:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Als een wiskundige leek hiernaar kijkt, krabt hij zich op zijn hoofd en weet hij niet goed wat hij ermee moet. Toch zitten er in die uitdrukking vier vrij eenvoudige functies die achter elkaar op de variabele x worden toegepast. Met benoemde en geneste functies zou je het zo kunnen uitschrijven:

$$\text{faculteit}(\text{wortel}(\text{abs}(\text{kwadraat}(x))))$$

Die schrijfwijze is langer, maar voor wie de symbolen niet kent waarschijnlijk overzichtelijker. Tegelijk is ook volkomen duidelijk in welke volgorde de functies achter elkaar worden aangeroepen.

Samenvatting van de functieschrijfwijze

Een functie heeft een naam, en dat kan in principe van alles zijn. Meestal noemen we een algemene functie f. Elke functie heeft een bepaald aantal parameters, die we achter de naam tussen ronde haakjes schrijven. Als onze functie f twee parameters had, zouden we dat zo opschrijven: f(x, y) of f(a, b). Hoe je de parameters noemt, maakt in het algemeen niet uit.

Sommige veelgebruikte functies hebben een eigen symbool, de wortel heeft bijvoorbeeld het symbool $\sqrt{}$. Verder is sin of sin(x) de functie sinus, is |x| de functie absolute waarde en is x! de functie faculteit.

Als een functie één parameter heeft, laten we soms de haakjes weg, wat de schrijfwijze soms overzichtelijker maakt en soms niet. Dus sin(x) en sin x zijn allebei geldige schrijfwijzen van de functie sinus.

Als het over de parameter van een functie gaat, bedoelen we de letter x in de notatie f(x). Het argument is dan de waarde waarmee we de functie aanroepen, die we voor x invullen. Vaak lopen deze twee begrippen door elkaar. De functiewaarde is de waarde die we krijgen nadat we de functie hebben aangeroepen. We schrijven die eenvoudig op als de naam van de functie, haakjes en het argument. Als we de functie f(x) = 2x hebben en voor de parameter x het argument x = 4 invullen, zeggen we dat we de functie hebben aangeroepen met het argument x = 4 en dat de resulterende functiewaarde f(4) gelijk is aan acht.