Domein van een functie

Het domein van een functie bestaat uit alle toegestane waarden die we in de functie f(x) voor het argument x kunnen invullen zodat de functie betekenis heeft.

Wat is het domein van een functie

Een eenvoudig voorbeeld is de functie f(x) = 1/x. Het domein is de verzameling van alle toegestane waarden die, als we ze in de functie 1/x invullen, een geldige uitdrukking opleveren.

Om te weten wat een “geldige uitdrukking” is, moeten we de eigenschappen van functies en bewerkingen kennen. In onze functie delen we door de variabele x, de variabele x staat in de noemer van de breuk. Door welke waarden kunnen we delen? Door alle behalve nul. Door nul kunnen we niet delen, en dus mag nul ook niet in de noemer van een breuk staan. Een andere beperking kent delen niet.

Daarom kunnen we voor x elk reëel getal invullen behalve nul. Het domein is dus gelijk aan: D_f = ℝ ∖ {0}. Het domein noteren we meestal met de letter D, met als index de functie waarvan we het domein berekenen.

Nu hebben we het grootste domein berekend. Maar omdat we het domein hebben gedefinieerd als de verzameling waarden die we voor x kunnen invullen, geldt ook dat elke deelverzameling van het domein weer een domein is. Soms komt het goed uit om de functie tot bepaalde x te beperken. In rijen beperken we ons bijvoorbeeld tot de natuurlijke getallen, in de goniometrie rekenen we vaak alleen met het interval [0, 2π].

Als we echter een opgave hebben waarin het domein van een functie moet worden berekend, wordt meestal aangenomen dat je het grootst mogelijke domein moet berekenen.

Het domein kun je ook uit de grafiek van de functie aflezen. Als voorbeeld nemen we de grafiek van de vorige functie f(x) = 1/x.

Als je de grafiek op de x-as projecteert, krijg je het domein. Als een punt x geen element van het domein is, dan snijdt de verticale lijn loodrecht op de x-as door dit punt geen enkel punt van de grafiek. We zien dat alleen nul aan deze voorwaarde voldoet — boven of onder nul ligt geen enkel punt van de grafiek van de functie. Alle andere getallen hebben dat wel.

Het domein berekenen

Om het domein van een samengestelde functie te berekenen, moet je de domeinen kennen van alle functies waaruit de samengestelde functie bestaat. Anders gaat het niet. Als ik je zou vragen het domein van de functie f(x) = een(x) + twee(x) te berekenen, zou je er niet uitkomen, omdat je niet weet hoe de functies een en twee zijn gedefinieerd. We laten de domeinen van enkele elementaire functies zien:

• De logaritme heeft D_f = ⟨0, → ⟩.
• De wortel heeft D_f = [0, → ⟩.
• De tangens heeft D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• De cotangens, cot(x) = cos(x)/sin(x), heeft D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• De exponentiële functie heeft D_f = ℝ.
• De lineaire functie en de kwadratische functie hebben D_f = ℝ.

Als je maar één functie hebt gekregen, is het heel eenvoudig. We bepalen gewoon welk domein die functie heeft, kijken naar het argument en vullen dat dan op de juiste manier in de (on)gelijkheid in. Dus een voorbeeld — bepaal het domein van de functie log(3x + 2). Het argument van de logaritme moet positief zijn, dus er moet gelden 3x + 2 > 0. Dat is een lineaire ongelijkheid, die we eenvoudig oplossen:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Het domein bestaat uit alle x die aan deze ongelijkheid voldoen, dus D_f = ⟨ − 2/3, → ⟩.

Bereken het domein van $\sqrt{2x+8}$.

Onder het wortelteken mag geen negatief getal staan, dus we lossen de ongelijkheid 2x + 8 ≥ 0 op, waaruit we het volgende krijgen:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Dus D_f = [−4, → ⟩.

Bereken het domein van 1/x².

In de noemer mag geen nul staan, dus we lossen de vergelijking x² ≠ 0 op. Dat geldt als x ≠ 0, dus D_f = ℝ ∖ {0}.

Samengestelde functies ontleden

Bij samengestelde functies is de situatie iets ingewikkelder, omdat we meerdere functies in rekening moeten brengen die elkaar beïnvloeden en hun domein stap voor stap kleiner maken. Neem bijvoorbeeld dit voorbeeld:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Hier moeten twee voorwaarden gelden. De uitdrukking onder het wortelteken moet groter dan of gelijk aan nul zijn, ze mag niet negatief zijn. Dus x ≥ 0. Maar de wortel staat in de noemer van de breuk, dus de wortel mag geen nul opleveren, want dan zou de breuk weer geen betekenis hebben. We scherpen de vorige uitspraak dus aan tot x > 0.

Op dezelfde manier gaan we te werk bij andere voorbeelden. Belangrijk is wel om de volgorde van de geneste functies te bepalen –- we moeten uitzoeken welke functie de binnenste is en welke de buitenste. Bij het vorige voorbeeld was dat duidelijk –- de binnenste functie was de wortel en de buitenste de breuk. Als we die uitdrukking met de hand zouden willen uitrekenen, zouden we eerst uit het argument x de wortel trekken en pas daarna de breuk berekenen. Dat is een heel goed hulpmiddel –- de binnenste functie is die waarmee je zou beginnen te rekenen als je het met de hand zou uitrekenen. Nog een voorbeeld:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Nu kunnen we de omgekeerde aanpak kiezen. We zoeken de buitenste functies. De buitenste functie “omhult” de binnenste functies. Hier omhult de vijfdemachtswortel duidelijk alle overige functies. Verder omhult de derde macht de uitkomst van de logaritme, de logaritme omhult de tangens en ten slotte omhult de tangens de variabele x. Eenvoudig. Op de eerdere manier kunnen we het zo aanpakken: als we de waarde x kennen, passen we die als eerste toe op de tangens. Dat is dus de binnenste functie. Deze uitkomst passen we toe op de logaritme –- dat is dus de op een na binnenste functie. Deze uitkomst passen we weer toe op de macht en tot slot trekken we daar de wortel uit.

Ontleed de samengestelde functie:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

We beginnen met de buitenste functie. Dat is de sinus. Daarna komt in de volgorde de breuk, dan de logaritme, dan de exponentiële functie (stel je deze substitutie voor: 10^a) en tot slot de lineaire functie 2x + 3.

Ontleed de samengestelde functie:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

De buitenste functie is de exponentiële functie 2^a. Daarna komt de breuk en dan in de noemer van de breuk de wortel en tot slot de lineaire functie 3x.

Het domein van samengestelde functies

Als je functies kunt ontleden in buitenste en binnenste functies, kan het bepalen van het domein geen enkel probleem meer voor je zijn. We laten het meteen aan een voorbeeld zien:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

We beginnen met de breuk. Daarvoor moet gelden dat de noemer ongelijk is aan nul. We schrijven het op:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Uit de eigenschappen van de functie sinus weten we dat de waarde 1 wordt bereikt in het punt x = π/2. Omdat het een periodieke functie is, krijgen we de verzameling M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Dit is de verzameling van waarden waarvoor de noemer gelijk aan nul wordt. Deze x kunnen we niet in onze functie invullen.

Maar dat is niet alles, we moeten ook nog kijken naar het domein van de functie sinus. Dat is gelukkig gelijk aan ℝ, dus het beperkt ons op geen enkele manier. De beperking komt alleen van de noemer van de breuk. Dus D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.