Divisjon

Divisjon er den omvendte prosessen av multiplikasjon. Samtidig er divisjon en god kilde til humor, for som alle vet, kan vi ikke dele på null, ellers ville matteboka brent opp.

Hva er divisjon

Vi kan forestille oss divisjon som å dele en stor helhet i like store mindre biter. Vi kan tenke oss en pappa som må sage en planke på 100 cm i fem like store deler. Hvor store blir de enkelte delene?

Vi kan gå motsatt vei — hvis vi legger sammen lengdene av alle de fem delene, må vi få tallet 100 tilbake. Hvilket tall oppfyller det? Det er tallet 20, fordi 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. I stedet for addisjon kan vi også bruke multiplikasjon. Vi kan spørre: Hvilket tall gir hundre når det multipliseres med fem? Igjen tallet 20, fordi 5 · 20 = 100.

Grafisk kan vi framstille det som at et linjestykke med lengde 100 deles i fem like lange deler:

Hvis vi vil dele tallet 100 på tallet 5, finner vi ut «hvor mange ganger fem går opp i hundre». Divisjon skriver vi enten med skråstrek: 100 / 5 eller med kolon: 100 : 5. Resultatet av en divisjon av to tall er kvotienten. I eksemplene våre er tallet 20 kvotienten av 100 og 5. Tallet til venstre kalles dividend, tallet til høyre divisor. Vi kan også skrive divisjon som en brøk: i stedet for 100 / 5 kan vi skrive $\frac{100}{5}$. Oppsummering av navnene:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a kalles dividend,
• b kalles divisor,
• c kalles kvotient.

Definisjon ved hjelp av multiplikasjon

Kvotienten kan defineres enklest ved hjelp av multiplikasjon. Som eksempel tar vi kvotienten av disse tallene: 35 / 7. Hva blir resultatet? Vi leter etter tallet som gir 35 når vi multipliserer det med 7. Hvis vi skulle dele 48 / 8, ville vi lete etter tallet som gir 48 når det multipliseres med 8.

Resultatet av 35 / 7 er altså tallet 5, fordi 7 · 5 = 35. Resultatet av 48 / 8 er tallet 6, fordi 8 · 6 = 48.

Hvis vi generelt deler a / b, er resultatet tallet c som oppfyller b · c = a.

Selv om vi har vist alle eksemplene med naturlige tall, kan vi takket være definisjonen ved hjelp av multiplikasjon dele også alle andre tall. Vi kan for eksempel finne kvotienten −85,76 / 6,7 ved å finne tallet x som oppfyller 6,7 · x = −85,76. Det gjelder for x = −12,8.

Vi kan dele null på et annet tall

Vi kan dele null på et tall, dette er et gyldig uttrykk: 0 / 15. Egentlig sier vi da at vi vil dele null i 15 like deler. Vi kan tenke oss at vi ikke har noen kake, og at vi vil dele denne kaken vi ikke har, i 15 deler — hvor store blir de enkelte delene? De blir null, fordi vi rett og slett ikke har noen kake. Eller forestill deg at du har null kroner i lommeboken og vil dele disse null kronene mellom tre barn. Hvor mye får hvert barn? Ingenting, fordi du rett og slett ikke har noe. Derfor er 0 / 15 = 0.

Vi kan dele null på et annet tall, men vi kan ikke dele et annet tall på null. Dette uttrykket er ugyldig: 8 / 0.

Men hvorfor kan vi ikke dele på null?

Vi kan ikke dele på null, fordi det er forbudt av det ellevte budet.

Men det finnes tyngre grunner. Foreløpig ser vi på tilfellet der dividenden er forskjellig fra null — divisjonen har formen a / 0, der a ≠ 0. Vi tar for oss to grunner:

1. La oss holde oss til analogien med å dele en helhet i mindre, like store deler. Vi har 15 av de aller råeste fotballkortene. Nå vil vi dele dem mellom null barn. Hvor mange fotballkort får hvert barn?

Hæ???

Ja, du leser oppgaven riktig, og ja, den gir ikke mening. Vi kan ikke spørre hvor mange fotballkort hvert barn fikk, når vi ikke hadde noe barn å gi kortene til. Derfor gir heller ikke divisjon med null mening, og derfor sier vi at uttrykket x / 0 er udefinert.

2. Vi innførte divisjon ved hjelp av multiplikasjon. Når vi prøver å dele på null, 15 / 0, leter vi etter et tall x som oppfyller x · 0 = 15. Men hva som helst ganger null er null, så vi finner aldri noe x som gjør at denne likningen stemmer.

Og hva med kvotienten 0/0?

Den er udefinert, akkurat som x / 0. Grunner:

Denne gangen har vi null av de aller råeste fotballkortene, som vi vil dele mellom null barn. Det er igjen et meningsløst krav.

Ifølge definisjonen av divisjon leter vi, når vi deler 0 / 0, etter et tall x som oppfyller x · 0 = 0. Vi finner løsninger, eller mer presist: hvilket som helst reelt tall er en løsning av denne likningen. Enten vi setter inn 4, 1 eller π for x, er likningen oppfylt. Det er selvsagt uakseptabelt at resultatet av en divisjon skal være hele mengden av reelle tall, det gir ingen mening.

Vi måtte velge ett bestemt tall fra hele mengden og si at akkurat dette tallet er resultatet av divisjonen 0 / 0. Men hvilket? Skulle det være lik én? Åtte? Null? Minus én? Og hvorfor? La oss prøve å føre argumenter for null og for én:

1. Vi vet at når vi har en brøk på formen x / x, er denne brøken lik én. For eksempel 7 / 7 = 1 eller 3 / 3 = 1. Herfra kunne vi slutte at vi burde definere 0 / 0 slik at 0 / 0 = 1.
2. La oss se på denne følgen av brøker som helt sikkert er gyldige. I hver av dem deler vi null på et tall som kommer stadig nærmere null:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Vi ser at uansett hvor nær null tallet vi deler på er, får vi fortsatt null som kvotient. Av dette kunne vi slutte at 0 / 0 = 0.

Begge disse argumentene er gyldige for hvordan vi kunne definere kvotienten 0 / 0. Men hvilket av dem er best? Og selv om vi valgte ett av dem og erklærte det for det eneste gyldige, ville vi likevel komme i strid med andre deler av matematikken.

Derfor lar vi heller divisjon med null være udefinert.

Det endelige argumentet mot å dele på null

Hvis de forrige argumentene ikke var nok for deg, blir du forhåpentligvis overbevist av følgende fotodokumentasjon av et tilfelle der noen virkelig prøvde å dele på null: