Addisjon og subtraksjon
Addisjon og subtraksjon er de mest grunnleggende regneoperasjonene, og vi trenger dem også i hverdagen. Selv om vi kan legge sammen mange ulike strukturer, skal vi her bare se på addisjon av heltall.
Addisjon
Addisjon skrives med plusstegnet +. Når vi legger sammen, adderer vi ledd. Hvis vi skal regne ut 2 + 3, kalles både to-tallet og tre-tallet et ledd. Resultatet er summen, altså er fem-tallet i uttrykket 2 + 3 = 5 summen.
Vi kan legge sammen nesten hvilke som helst tall, enten det er naturlige tall som 1, 5, 157, eller negative tall som -4, -74. Videre kan vi legge sammen rasjonale tall, altså brøker, reelle tall som for eksempel π, og til slutt også komplekse tall. Vi kan også legge sammen andre strukturer — matriser eller vektorer.
Addisjon forklares som regel med en haug epler — hvis du har tre epler i en kurv og noen gir deg fire epler til, hvor mange har du da? Du har 3 + 4 = 7.
Hvordan legge sammen store tall
Hvis jeg ba deg regne ut 17 564 pluss 3272, ville du nok ikke kunne si svaret på rams. Da bruker vi enten kalkulator eller blyant og papir. Jeg skal ikke lære deg hvordan du taster det inn på kalkulatoren, la oss heller se på framgangsmåten på papiret.
Vi skriver tallene vi skal legge sammen under hverandre og justerer dem mot høyre — slik at like plassverdier (tiere, hundrere, …) står under hverandre. Under begge tallene trekker vi en vannrett strek. Det ser slik ut:
Nå legger vi sammen tallene som står under hverandre. Hvis summen er mindre enn ti, skriver vi bare summen under streken. Vi begynner fra høyre, med den minste plassverdien. Først regner vi altså ut 4 + 2, som er lik seks. Seks er mindre enn ti, så vi skriver tallet seks under streken:
Vi fortsetter og regner ut 6 + 7. Det er lik 13, og det er allerede større enn ti. Da skriver vi bare sifferet på enerplassen under streken, altså tallet tre (vi trekker ti fra tretten).
Hva skjedde med ettallet vi tok av, og hva betyr det? Nå regner vi med den andre kolonnen fra høyre, som i tallet er tierplassen. Egentlig la vi altså sammen tiere, vi regnet ut 60 + 70 = 130. Vi bestemte oss for å beholde tallet 30, og 100 la vi til side til senere. Til når? Til neste trinn, til neste kolonne. I neste trinn kommer vi til sifrene på hundreplassen. Og der har vi ett hundre ekstra, som vi fikk da vi la sammen tierne. Da er det enklest å legge til dette hundret i neste trinn.
I stedet for å regne ut 5 + 2 i neste trinn regner vi altså ut 5 + 2 + 1, der ettallet er hundret vi fikk i forrige trinn. Totalt blir det åtte, som er mindre enn ti. Vi skriver åtte under streken.
Til neste trinn følger det ikke med noe tusen ekstra, så vi regner bare ut 7 + 3 = 10. Dette tallet er ikke mindre enn ti, så vi skriver det siste sifferet under streken, og ett går videre. Under streken skriver vi altså null, og til neste trinn tar vi med ti tusen ekstra.
I den siste kolonnen er det bare et siffer i den første raden. I den andre raden tenker vi oss en null og regner ut 1 + 0, og vi må ikke glemme å legge til ettallet fra forrige trinn: 1 + 0 + 1 = 2. Under streken skriver vi to.
Dermed er algoritmen ferdig, og vi har summen av tallene 17564 + 3272.
Animasjon av skriftlig addisjon
I feltene nedenfor kan du skrive inn to naturlige tall og så bare lene deg tilbake og se hele framgangsmåten som animasjon.
Addisjon på tallinjen
Vi kan framstille addisjon på tallinjen. Tallinjen er en rett linje der alle tallene er markert. Den kan se slik ut:
Hvis vi vil vise addisjon av to tall på denne tallinjen, for eksempel 3+4, gjør vi slik: Vi tegner et linjestykke som begynner i origo, altså i null, og slutter i tre. Ved addisjon tegner vi linjestykket mot høyre fra punktet der vi startet. Slik:
Nå tegner vi inn fire på tallinjen. Nå starter vi imidlertid i tallet tre, og derfra tegner vi et linjestykke med lengde fire mot høyre. Slik:
Punktet der det andre, grønne linjestykket slutter, viser sluttresultatet: 3 + 4 = 7.
Subtraksjon
Subtraksjon er den inverse operasjonen til addisjon. Hvis du legger tallet b til et tall a og deretter trekker b fra igjen, får du tilbake tallet a. Vi viser framgangsmåten med eksempelet 158 748 − 99 575. Som ved addisjon skriver vi tallene under hverandre:
Vi skriver resultatet under streken, akkurat som ved addisjon. Vi begynner fra høyre, med de minste plassverdiene. Først regner vi altså ut enerne. Hvis det øverste tallet ikke er mindre enn det nederste, skriver vi differansen øverste tall − nederste tall under streken. (Eller omvendt — hvis det nederste tallet er mindre eller like stort, kan vi trekke fra uten bekymringer.) På enerplassen er ikke det øverste tallet mindre, så vi skriver differansen 8 − 5 = 3.
Vi flytter oss ett siffer mot venstre og er på tierplassen. Her er det øverste tallet mindre enn det nederste. Da legger vi til ti i det øverste tallet og regner videre på samme måte: øverste tall + 10 − nederste tall. Resultatet blir 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Når vi trakk fra tierne, hjalp vi oss ved å regne med ti ekstra tiere, og det må vi huske på i neste trinn. Ti tiere er ett hundre, så i neste trinn trekker vi fra ett hundre mer. Det betyr at vi legger ettallet fra forrige trinn til femmeren nederst.
På hundreplassen undersøker vi altså om sjuen (det øverste tallet) er mindre enn seksen (nederste tall + 1). Det er den ikke, så vi kan regne ut den vanlige differansen øverste minus nederste. Også her må vi legge til ett i det nederste tallet, så resultatet blir 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Til neste trinn overfører vi ingenting, for i dette trinnet trengte vi ikke å låne fra noen høyere plassverdi. På tusenplassen legger vi derfor ikke noe til noe. Åtteren i det øverste tallet er imidlertid mindre enn nieren i det nederste tallet, så vi må legge til ti i det øverste tallet. Vi får differansen 8 + 10 − 9 = 9.
Til neste trinn overfører vi ett, som vi legger til det nederste tallet. Ni pluss en er ti, og den øverste femmeren er mindre enn ti. Vi legger ti til det øverste tallet og regner ut differansen: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Vi har igjen hjulpet oss med en høyere plassverdi, så vi overfører ett til neste trinn. Der mangler det et tall nederst, så vi regner med null. Når vi legger til ett, får vi resultatet én. Det øverste tallet er ikke mindre enn det nederste (nå er det øverste tallet lik det nederste), så vi kan trekke fra på vanlig måte: 1 − 1 = 0.
Og vi har resultatet. Vi kan fjerne nullen foran og skrive: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Subtraksjon på tallinjen
Subtraksjon kan vi, akkurat som addisjon, framstille på tallinjen. Vi bytter bare retning når vi tegner linjestykket. Vi tegner ikke linjestykket mot høyre fra det nåværende punktet, men mot venstre. Hvis vi for eksempel skal regne ut 2 − 5, gjør vi slik. Først tegner vi inn to på tallinjen, i positiv retning, fordi to er positivt. Vi trekker fra fem, og det går motsatt vei.
Nå tegner vi inn et nytt linjestykke som viser minus fem. Vi starter i punktet der vi sluttet, altså i to. Men linjestykket tegner vi bakover, mot venstre.
