Enkle eksempler på derivasjon

I denne artikkelen ser vi først på noen nyttige formler for derivasjon, og så prøver vi å derivere noen funksjoner, både enkle og kompliserte. Hvis du ikke leter etter utregnede eksempler, men trenger en forklaring av definisjonen av den deriverte, gå til artikkelen om den deriverte til en funksjon.

Derivasjon av polynomer

Først nevner vi noen formler som vi trenger når vi skal derivere funksjoner som er polynomer. Til venstre står den elementære funksjonen som vi vil derivere, og til høyre den resulterende funksjonen etter derivasjonen. For ordens skyld: c er en konstant (allerede i den første linjen er det altså en konstant funksjon) og vi deriverer med hensyn på x.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Noen konkrete eksempler:

$f (x) = 5$

Dette er en konstant funksjon, så vi bruker den første formelen og får:

$f^{'} (x) = 0.$

Den lineære funksjonen f(x) = x har etter den andre formelen den deriverte

$f^{'} (x) = 1,$

og der er det ikke noe mer å undersøke. Derfor prøver vi å derivere funksjonen

$f (x) = x^{5} .$

Vi bruker den siste formelen, der vi setter inn eksponenten for c, altså c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

Formelen fungerer også for en negativ eksponent, så hvis vi vil derivere funksjonen

$f (x) = x^{- 7},$

får vi:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

For å leke videre trenger vi formler for addisjon og multiplikasjon av funksjoner. Og hvis vi fra en derivert funksjon vil få tilbake den opprinnelige funksjonen, bruker vi integraler.

Derivasjon av en sum

Hvis vi vil regne ut den deriverte til en funksjon som inneholder noen uttrykk i en sum, regner vi bare ut de deriverte av leddene og legger sammen delresultatene. Vi skriver det slik:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Et enkelt eksempel: la oss ta funksjonen f(x) = x + 5. Den deriverte av denne funksjonen blir:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

Vi delte funksjonen opp i to funksjoner, slik:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

og satte bare inn i formelen. Altså regnet vi ut de deriverte til funksjonene f₁ og f₂ og la sammen resultatene. Det fungerer på samme måte for subtraksjon. Et mer krevende eksempel:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Igjen deriverer vi bare de tre leddene hver for seg og lar dem stå i en sum:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Derivasjon av et produkt

Et produkt løser vi dessverre ikke like enkelt som en vanlig sum. For produktet av to funksjoner må vi bruke en litt mer komplisert formel:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

En triviell funksjon som inneholder multiplikasjon, er for eksempel funksjonen

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

I formelen for multiplikasjon har vi to funksjoner. De får vi fra denne ene funksjonen s(x) slik: f(x) = 5 og g(x) = x². Nå er det lett å sette inn:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

Vi ser at hvis vi har en funksjon på formen

$f (x) = a \cdot x^{c},$

får vi etter derivasjon

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1} .$

Denne regelen kan vi generalisere ytterligere, og i stedet for et polynom kan vi sette inn en vilkårlig funksjon. For en hvilken som helst funksjon f(x) gjelder dermed

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

Som eksempel prøver vi å derivere denne funksjonen:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

I begynnelsen av derivasjonen bruker vi først regelen for sum:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Uttrykkene i produktene skriver vi om etter formelen vi nevnte sist:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

Vi deriverer uttrykkene i parentesene etter regelen for å derivere x^c.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

Og til slutt ganger vi bare sammen koeffisientene:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Derivasjon av en brøk

Derivasjon av en brøk er igjen litt mer komplisert enn derivasjon av et produkt. Formelen:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Men ellers er framgangsmåten tilsvarende som for et produkt. Så vi tar et eksempel med en gang:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

Telleren i brøken er funksjonen f(x), og nevneren er funksjonen g(x). Og nå setter vi bare inn i formelen:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

I nevneren har vi nevneren opphøyd i andre potens, og i telleren har vi brøken skrevet ut etter formelen. Nå deriverer vi den første og den siste parentesen. Der har vi igjen regelen for sum, den hopper jeg over og skriver resultatet med en gang:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Dette uttrykket kan vi forenkle videre, men det er ikke viktig i dette kapitlet.

Derivasjon av elementære funksjoner

Nå viser vi, uten videre utledning, noen formler for å regne ut den deriverte til vanlige funksjoner.

Potenser og logaritmer:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

Legg merke til at den deriverte til funksjonen e^x igjen er e^x. Det er ikke en skrivefeil, men en hyggelig egenskap som har blitt grunnlaget for mange og atter mange vitser.

Trigonometriske funksjoner:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (\tan x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (\cot x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Et enkelt eksempel:

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

Begge uttrykkene står i en sum, så det er nok å legge sammen de deriverte av de to uttrykkene. Hvert uttrykk inneholder en konstant i begynnelsen som ganger funksjonen etter seg. Vi vet at vi nå bare trenger å derivere funksjonen og ikke endre konstanten. Det gjør vi:

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Dette er allerede tabellverdier:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Derivasjon av en sammensatt funksjon

Fra egenskapene til den deriverte og fra bruken av den når vi drøfter en funksjon vet vi at vi under visse vilkår kan ha to funksjoner som er deriverbare, og at vi ved å sette dem sammen igjen får en funksjon som er deriverbar. Vi viser hvordan vi regner ut den deriverte til en slik sammensatt funksjon.

Den deriverte av en sammensatt funksjon er nok det vanskeligste begrepet blant disse grunnleggende derivasjonene. Funksjoner kan vi sette sammen. Hva en sammensatt funksjon er, kan du lese mer om i artiklene Hva er en funksjon eller Definisjonsmengde til en funksjon. Grovt sagt betyr det at vi gir en annen funksjon som argument til en funksjon. Den symbolske skrivemåten ville se slik ut: h(g(x)). En konkret funksjon kan for eksempel være

$f (x) = \sin (2 x) .$

Hvilke to funksjoner er det der? Sinus og så den indre funksjonen 2x. På denne funksjonen f kan vi ikke bare sette den generelle formelen for sin(x), for den regner med at argumentet er x, ikke 2x. Utregningen av den deriverte til en sammensatt funksjon går altså slik:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Altså deriverer vi den ytre funksjonen og lar den beholde det samme argumentet, og så ganger vi med den deriverte av den indre funksjonen. I tilfellet med sinus-eksempelet ville det gjelde:

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

Apostrofen bare over sinus betyr at vi nå deriverer bare selve sinus, ikke hele uttrykket slik som i uttrykket på venstre side av likningen. Den deriverte av sinus er cosinus, så i stedet for sinus skriver vi bare cosinus. Og den deriverte av 2x er 2:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Et eksempel til, litt mer krevende.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Her har vi én indre funksjon til. Den ytre funksjonen er cosinus, den midterste er logaritmen, og den innerste er potensen x². Vi går igjen fram etter formelen. Vi skriver det ut:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Vi deriverer bare cosinus og lar argumentet til cosinus stå som det er, altså lar hele logaritmen stå. Hele dette uttrykket ganger vi så med den deriverte av argumentet, altså den deriverte av logaritmen. Vi deriverer cosinus og får:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Uttrykket til høyre har ikke endret seg, vi har bare derivert cosinus. Nå går vi løs på derivasjonen av logaritmen. Det er igjen en sammensatt funksjon, så vi bruker formelen for sammensatt funksjon rekursivt. Det venstre uttrykket skriver vi bare av:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

Vi deriverer logaritmen og lar argumentet være det samme, altså x². Men hele uttrykket ganger vi igjen med den deriverte av argumentet, altså den deriverte av nettopp x². Den deriverte av logaritmen er brøken 1/x, der vi setter inn argumentet vårt x² for x, og den deriverte av x² er 2x.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

« Forrige: Den deriverte til en funksjon

Neste: Avanserte eksempler på derivasjon »