Den deriverte til en funksjon

Den deriverte er et grunnleggende begrep i differensialregningen. Den spiller en viktig rolle blant annet når vi skal drøfte en funksjon, og den er på den ene siden hatet av elever, men på den andre siden kan til og med en passe trent ape regne ut en derivert. I denne artikkelen beskrives og forklares bare definisjonen av den deriverte og tilhørende begreper. Utregnede eksempler finner du i nabo-artiklene: enkle eksempler på derivasjon og mer krevende eksempler. Den motsatte prosessen av derivasjon er integrasjon.

Hva er den deriverte

Før vi kommer til selve definisjonen av den deriverte, ser vi på hva vi egentlig regner ut med den deriverte og hva vi kan bruke den til.

Med den deriverte til en funksjon får vi stigningstallet til tangenten. Det var mange stygge ord på én gang, så vi tar det fra begynnelsen. Enkelt sagt er en tangent en rett linje som berører grafen i akkurat ett punkt. Det er ikke en nøyaktig definisjon, den kan du lese for eksempel på Wikipedia, men omtrent så langt holder det. Se nå på denne figuren:

Den svarte kurven er grafen til funksjonen y = x². Den blå linjen er tangenten til denne funksjonen i punktet D(1, 1), markert med rødt. Med grønt er vinkelen α markert, som tangenten danner med x-aksen, nærmere bestemt med den positive delen av x-aksen. Nå definerer vi begrepet stigningstallet til tangenten. På denne figuren er stigningstallet til tangenten tangens til vinkelen alfa. Tangens er en klassisk trigonometrisk funksjon som vi for eksempel kan bruke til å regne ut vinkler og sidelengder i en trekant. Stigningstallet til tangenten er altså tangens til vinkelen som den gitte tangenten danner med den positive delen av x-aksen. Og dette stigningstallet får vi nettopp ved hjelp av den deriverte.

Videre skiller vi mellom begrepene den deriverte til en funksjon i et punkt og den deriverte funksjonen. Den deriverte til en funksjon i et punkt er nettopp stigningstallet til tangenten i det gitte punktet. Den deriverte funksjonen er så en annen funksjon som gir stigningstallene for et vilkårlig argument x. Et eksempel kommer.

Motivasjon

Med den deriverte kan vi altså regne ut stigningstall til tangenter. Hva kan vi bruke det til? Se på denne figuren:

På figuren er det igjen funksjonen y = x² og fire markerte tangenter. To grønne og to blå. Legg merke til at funksjonen y = x² er strengt avtagende på intervallet ⟨ ← , 0⟩, mens den er strengt voksende på intervallet ⟨0, → ⟩. Men hva gjelder samtidig for tangentene, nærmere bestemt for vinkelen de danner med den positive delen av aksen? De blå tangentene, som går gjennom punkter i intervallet der funksjonen vokser, danner en vinkel på mindre enn 90° med aksen. De grønne tangentene danner derimot en vinkel som er større enn 90°. Hvordan viser det seg i stigningstallene til tangentene?

Til det må vi kjenne oppførselen til funksjonen tangens. Fra grafen nedenfor ser vi at hvis vinkelen er mindre enn 90°, er verdien av tangens positiv (den blåmarkerte delen). Hvis vinkelen er derimot større enn 90° men mindre enn 180° (altså mindre enn π radianer), er verdien av tangens negativ. Hvilken konklusjon kan vi trekke? Hvis stigningstallet (husk at stigningstallet er nettopp tangens til vinkelen) til tangenten i et gitt punkt er positivt, er funksjonen voksende i punktet, og hvis det er negativt, er den avtagende.

Definisjon

Før vi kommer til selve definisjonen av den deriverte, må vi gå en lang vei. Og vi trenger grenseverdien til en funksjon. Hvis du ikke behersker grenseverdier, gå tilbake til dem eller hopp bare til formlene, for den videre framstillingen er nok ikke for deg.

Før vi går over til stigningstallet til selve tangenten, stopper vi ved stigningstallet til en sekant, som er enklere. En sekant er en rett linje som skjærer grafen i to punkter. Nå prøver vi å utlede hvordan vi kan regne ut dette stigningstallet. Se på figuren:

Der har vi grafen til funksjonen x² + 1 og sekanten s, som skjærer grafen i de to punktene (0,5; 1,25) og (2, 5). Disse punktene er markert med blått. Siden vi ikke er så interessert i de konkrete verdiene, er de i grafen markert generelt som a og b og f(a) og f(b). Her er f(a) verdien til funksjonen f i punktet x = a. Det stemmer: verdien til funksjonen vår x² + 1 i punktet x = 2 er 2² + 1 = 5.

Nå gjelder det å utlede hvordan vi regner ut vinkelen som er markert som alfa, altså vinkelen som sekanten danner med x-aksen. Først endrer vi figuren litt slik at vi får en trekant, for den blir lettere å arbeide med.

Hva har vi gjort? Vi har forbundet punktene der sekanten skjærer grafen til funksjonen y = x² + 1 med et linjestykke, og fullført figuren til en rettvinklet trekant ABC. Hva hjelper det oss? Vinkelen markert som β er nemlig like stor som vinkelen α (de er samsvarende vinkler). Samtidig kjenner vi lengdene til sidene AB og BC. Det gjelder at |AB| = b − a (det er rett og slett avstanden fra punktet b til a). På tilsvarende måte er lengden |BC| = f(b) − f(a). Hvordan regner vi nå ut størrelsen til vinkelen β, eller α?

Vi må vite hvordan tangens regnes ut. Tangens er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet, altså tangens til vinkelen alfa (beta) er lik forholdet mellom lengden av siden BC og lengden av siden AB. Vi skriver det opp:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Siden stigningstallet er tangens til vinkelen, har vi med denne formelen regnet ut stigningstallet til sekanten. Men hvordan hjelper det oss når vi vil regne ut stigningstallet til tangenten? Tenk deg at vi flytter punktene A og C nærmere hverandre til de faller sammen. Figuren viser tilnærmingen:

Jo nærmere vi flytter det øverste skjæringspunktet til det nederste, desto nærmere kommer sekanten til å bli en tangent. Den opprinnelige sekanten/linjen CA var langt fra å være en tangent. Når vi flytter punktet C nærmere punktet A, får vi for eksempel sekanten C₁A, som allerede likner mer på en tangent. Sekanten C₂A likner enda mer, og så videre.

Når blir sekanten en tangent? I det øyeblikket begge skjæringspunktene faller sammen til ett, altså når det for et punkt C_n gjelder at C_n = A. Da har vi gjort sekanten om til en tangent, og det var det vi ville. Spørsmålet er hvordan vi regner ut stigningstallet, for vi kan ikke bare trekke de to punktene fra hverandre, siden de er like:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Dette går ikke, vi kan ikke regne på denne måten. Ikke uten grunn har vi bare flyttet punktene nærmere hverandre. Vi trenger nemlig en grenseverdi. Nå vil vi regne ut stigningstallet til tangenten i det gitte punktet (a, f(a)), og vi har stigningstallene til alle mulige sekanter (dem kan vi allerede regne ut). Vi regner altså ut stigningstallene til sekanter som vi gradvis flytter slik at vi får en tangent. Vi flytter altså b nærmere a. Vi kan ikke flytte punktene slik at de blir like, men vi kan flytte dem slik at differansen mellom dem går mot null i grensen. Se der, en grenseverdi. Vi lar altså b nærme seg a til de i grensen er like. Vi regner altså ut grenseverdien når b nærmer seg a. Det er alt, formelen ser slik ut:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Denne grenseverdien kaller vi den deriverte til funksjonen f(x) i punktet x = a. Husk at vinkelen α er lik vinkelen β. Vanligvis bruker vi ikke variablene a og b, men leter etter den deriverte i punktet x₀ og nærmer oss med punktet x. Da kan vi skrive:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Så langt har vi, på samme måte som for kontinuitet, definert den deriverte i ett punkt. Hvis vi har en funksjon f(x) som er deriverbar på et åpent intervall I, definerer verdiene av den deriverte en funksjon f′(x), som vi kaller den deriverte funksjonen.

Den deriverte skriver vi med en apostrof i hevet skrift, omtrent slik:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Du kan også støte på en annen skrivemåte, med dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

I formelen vi brukte for en stund siden, kan vi altså bytte ut tangens med skrivemåten for den deriverte:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Vi kan også definere ensidig derivert fra høyre eller venstre ved hjelp av ensidige grenseverdier. Det tar vi ikke for oss nå, det er ikke så viktig.

En litt annen definisjon

En annen definisjon av den deriverte til en funksjon i et punkt ser slik ut:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Hvordan kommer vi fram til en slik definisjon? Det er nok å endre litt på figuren vi gikk ut fra. Vi kan nemlig uttrykke avstanden fra punktet a til punktet b som h = b − a. Da kan vi skrive punktet b som a + h, siden h er nettopp avstanden fra b til a. Figuren ville se slik ut:

Nederst har vi punktene a og a + h, og på y-aksen f(a) og f(a + h). Nå lager vi igjen en trekant og regner ut tangens til vinkelen beta. Bare med den forskjellen at lengden av siden AB allerede er regnet ut, den er nettopp h.

Endelig og uendelig derivert

Også den deriverte kan være endelig eller uendelig, på samme måte som grenseverdier til funksjoner. Hva betyr det? Den deriverte er endelig hvis verdien til den deriverte i punktet er lik et reelt tall. Den deriverte er uendelig hvis den er lik pluss eller minus uendelig. Hvordan kan vi forestille oss det geometrisk? Når er stigningstallet «uendelig»? Vi begynner med et enklere spørsmål: hvordan ser en tangent ut når stigningstallet er lik et stort tall? Fra grafen til tangens (se ovenfor) ser vi at hvis verdien av tangens er høy, nærmer vinkelen seg 90° (hvis vi beveger oss i intervallet ⟨0, 180⟩).

Det kan tyde på at hvis funksjonen har en uendelig derivert i et gitt punkt, danner tangenten en rett vinkel med x-aksen, altså den står vinkelrett på den. Og det stemmer. Hvordan kunne grafen til en slik funksjon se ut, og i hvilket punkt ville tangenten stå vinkelrett på x-aksen? For eksempel funksjonen $y=\sqrt[3]{x}$:

Grunnleggende egenskaper

• For at en funksjon skal ha en derivert i et punkt, må den være definert i en epsilon-omegn av dette punktet. Hvis denne omegnen ikke fantes, ville vi ikke kunne regne ut grenseverdiene som den deriverte er definert med.

• At grenseverdier er entydige (de finnes eller de finnes ikke), gir oss at hvis den deriverte finnes i et punkt, er den den eneste. Ingen funksjon har flere deriverte i ett punkt. Enten én eller ingen.

• På samme måte som for ensidige grenseverdier må den deriverte fra venstre og fra høyre være like hvis funksjonen har en derivert i punktet.

• Av og til trenger vi den såkalte andrederiverte. Det er ikke noe vanskelig, vi deriverer bare funksjonen én gang og deriverer så resultatet en gang til. Vi skriver det med to apostrofer: f''(x) = (f'(x))'.

• En viktig egenskap: hvis en funksjon har en derivert i et punkt, er funksjonen kontinuerlig i dette punktet. Det følger igjen av egenskapene til grenseverdier. Vær oppmerksom på at det ikke gjelder omvendt. At en funksjon er kontinuerlig i et gitt punkt, betyr ikke at den er deriverbar der. Et typisk eksempel er funksjonen f(x) = |x|. Grafen har en spiss, og vi kan ikke regne ut stigningstallet til tangenten i denne spissen. Du kan prøve å regne ut den deriverte fra venstre og fra høyre, og de blir forskjellige.

  

• Ved hjelp av deriverte kan vi også regne ut noen grenseverdier, til det brukes L'Hôpitals regel.

Lenker

I en egen artikkel finner du en liste over formler for derivasjon. Noen flere finner du på Wikipedia.

Du kan også se på utregnede eksempler på derivasjon og så eventuelt vanskeligere eksempler på derivasjon.

Hvis du raskt trenger å kontrollere en utregning av en derivert, kan du bruke et matematisk verktøy, for eksempel Wolfram|Alpha. Det er nok å skrive «derive x^2+6x» (for eksempel) i inntastingsfeltet der, så regner Wolfram ut den deriverte av den oppgitte funksjonen.