Union, snitt, differanse og komplement av mengder

Mellom mengder kan vi utføre ulike mengdeoperasjoner. De mest grunnleggende er union, snitt, differanse og komplement.

Union av mengder

Unionen av mengder skriver vi med symbolet ∪, så unionen av mengdene A og B skriver vi A ∪ B. Unionen av mengdene A og B er en ny mengde som inneholder alle elementene i mengden A og også alle elementene i mengden B. Definisjon:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Eksempel: La oss ta to mengder A = {1, 3, 5, 7} og B = {2, 4, 6}. Unionen er mengden A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Den nye mengden inneholder elementene fra begge mengdene.

Et eksempel til: A = {1, 2, 3} og B = {2, 3, 4}. Unionen blir A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Elementene 2 og 3 står ikke to ganger i den nye mengden, for en mengde inneholder ikke samme element flere ganger.

Flere egenskaper:

• A ∪ A = A: hvis vi tar unionen av to like mengder, får vi igjen den samme mengden.
• A ∪ B = B ∪ A: unionen er kommutativ, rekkefølgen spiller ingen rolle.
• A ∪ ∅ = A: den tomme mengden inneholder ingen elementer, så det er ingenting å føye til.

Snitt av mengder

Snittet av to mengder A og B er en ny mengde som inneholder elementene som de to mengdene har felles. Mer nøyaktig inneholder den nye mengden elementene som tilhører A og samtidig tilhører B. Snittet skriver vi med symbolet ∩. Definisjon:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Eksempel: A = {1, 3, 5, 7, 9} og B = {4, 5, 6, 7}. Snittet er A ∩ B = {5, 7}. Et eksempel til: A = {a, b, c, d, e} og B = {f, g, h, i, j}. Snittet er A ∩ B = ∅. Disse mengdene har ingen felles elementer, så snittet er den tomme mengden.

Flere egenskaper:

• A ∩ A = A: snittet av to like mengder er igjen den samme mengden.
• A ∩ B = B ∩ A: snittet er kommutativt, rekkefølgen spiller ingen rolle.
• A ∩ ∅ = ∅: den tomme mengden inneholder ingen elementer, så den har sikkert ingen felles elementer med mengden A.

Differanse av mengder

Differansen av mengder skriver vi med vanlig minustegn − eller, bedre, med et skrått minustegn ∖. Differansen av to mengder A og B er mengden som inneholder alle elementene i A, men ingen av elementene i B. Du ser rett og slett på hvilke elementer den første mengden har felles med den andre, og fjerner dem. Definisjon:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Eksempel: A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {4, 5, 6, 7, 8}. Differansen er A ∖ B = {1, 2, 3}. Det er elementene som er igjen når vi fjerner alle elementene som er i mengden B, fra mengden A. Et eksempel til: A = {a, b, d, e}. Differansen A ∖ A = ∅.

Flere egenskaper:

• A ∖ A = ∅: på samme måte som vi får null når vi trekker to like tall fra hverandre (for eksempel 5 − 5 = 0), får vi den tomme mengden når vi trekker to like mengder fra hverandre.
• A ∖ ∅ = A: den tomme mengden inneholder ingen elementer, så vi kan ikke fjerne noen elementer fra mengden A.

Komplement av en mengde

Komplementet til en mengde A skrives på ulike måter, men kanskje oftest med en hevet c, A^c, eller med en strek over: $\bar{A}$. For enkelhets skyld bruker jeg den første skrivemåten. For å finne komplementet til mengden A må vi vite i hvilken mengde vi regner ut komplementet. Komplementet til en mengde består nemlig av alle elementene som ikke er i mengden A, så det er en slags motsetning til mengden A.

Hvis vi har M = {1, 2, 3, …, 9, 10} som universalmengde, er komplementet til mengden A = {2, 4, 6, 8, 10} i M mengden A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Den inneholder alle elementene i M som ikke er i A. Vi kan si at A^c i M er lik M ∖ A.

Hvis vi velger heltallene som universalmengde, er komplementet til mengden av partall mengden av oddetall. Komplementet til mengden A = {1, 2, 3, 4} er mengden A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

For komplementet gjelder at hvis vi bruker det to ganger, får vi tilbake den opprinnelige mengden. For eksempel i heltallene: komplementet til partallene er oddetallene. Og komplementet til oddetallene er igjen partallene. Altså gjelder A = (A^c)^c (komplementet til komplementet til A).