União, interseção, diferença e complementar de conjuntos

Entre conjuntos podemos realizar várias operações. As mais básicas são a união, a interseção, a diferença e o complementar.

União de conjuntos

A união de conjuntos é indicada pelo símbolo ∪; assim, a união dos conjuntos A e B é escrita, como de costume, A ∪ B. Da união dos conjuntos A e B surge um novo conjunto, que contém todos os elementos do conjunto A e também todos os elementos do conjunto B. Definição:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Exemplo: considere dois conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 4, 6}. Da união surge o conjunto A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. O conjunto resultante contém os elementos dos dois conjuntos.

Outro exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Pela união, obtemos A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Os elementos 2 e 3 não aparecerão duas vezes no conjunto resultante, porque um conjunto não contém o mesmo elemento mais de uma vez.

Outras propriedades:

• A ∪ A = A: se unimos dois conjuntos iguais, obtemos novamente o mesmo conjunto.
• A ∪ B = B ∪ A: a união é comutativa, a ordem não importa.
• A ∪ ∅ = A: o conjunto vazio não contém nenhum elemento, então não há o que unir.

Interseção de conjuntos

Da interseção de dois conjuntos A e B surge um novo conjunto, que contém os elementos que os dois conjuntos têm em comum. Mais precisamente, diríamos que o novo conjunto conterá os elementos que pertencem a A e, ao mesmo tempo, pertencem a B. A interseção é indicada pelo símbolo ∩. Definição:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Exemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {4, 5, 6, 7}. A interseção é igual a A ∩ B = {5, 7}. Outro exemplo: A = {a, b, c, d, e} e B = {f, g, h, i, j}. A interseção é igual a A ∩ B = ∅. Esses conjuntos não têm nenhum elemento em comum, então a interseção é o conjunto vazio.

Outras propriedades:

• A ∩ A = A: a interseção de dois conjuntos iguais é novamente o mesmo conjunto.
• A ∩ B = B ∩ A: a interseção é comutativa, a ordem não importa.
• A ∩ ∅ = ∅: o conjunto vazio não contém nenhum elemento, então com certeza não tem nenhum elemento em comum com o conjunto A.

Diferença de conjuntos

A diferença de conjuntos é indicada pelo símbolo comum de menos − ou, melhor, por um menos inclinado ∖. Entendemos por diferença de dois conjuntos A e B o conjunto que contém todos os elementos de A e, ao mesmo tempo, não contém nenhum elemento de B. Basta olhar quais elementos o primeiro conjunto tem em comum com o segundo e depois removê-los. Definição:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}. A diferença será igual a A ∖ B = {1, 2, 3}. São os elementos que sobram quando removemos do conjunto A todos os elementos que estão no conjunto B. Outro exemplo: A = {a, b, d, e}. A diferença A ∖ A = ∅.

Outras propriedades:

• A ∖ A = ∅: assim como, quando subtraímos dois números iguais, obtemos zero (por exemplo, 5 − 5 = 0), quando subtraímos dois conjuntos iguais, obtemos o conjunto vazio.
• A ∖ ∅ = A: o conjunto vazio não contém nenhum elemento, então não podemos retirar nenhum elemento do conjunto A.

Complementar de um conjunto

O complementar de um conjunto A é indicado de várias maneiras, mas provavelmente com mais frequência por um índice superior A^c ou por uma barra superior: $\bar{A}$. Para simplificar, vou usar o índice superior A^c. Para calcular o complementar do conjunto A, precisamos saber em qual conjunto calculamos esse complementar. O complementar de um conjunto representa todos os elementos que não estão no conjunto A, ou seja, é uma espécie de oposto do conjunto A.

Se tomamos como conjunto principal (conjunto universo) M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, então o complementar do conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} em M é o conjunto A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Ele contém todos os elementos de M que não estão em A. Podemos dizer que A^c em M é igual a M ∖ A.

Se tomamos como conjunto principal os números inteiros, então o complementar do conjunto dos números pares é o conjunto dos números ímpares. O complementar do conjunto A = {1, 2, 3, 4} será o conjunto A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Para o complementar vale que, se o aplicamos duas vezes, obtemos de volta o conjunto original. Por exemplo, nos números inteiros: o complementar dos números pares são os números ímpares. E o complementar dos números ímpares são novamente os números pares. Logo, vale A = (A^c)^c (o complementar do complementar de A).