Ce este o funcție

Funcția este o noțiune absolut esențială în matematică și e important să o înțelegi bine. Matematica este țesută din funcții, iar multe dintre simbolurile pe care le știi din școala generală sunt, de fapt, funcții.

Analogia funcției

Ai văzut vreodată un automat de cafea? Ce este caracteristic pentru un astfel de automat? Pui în el niște monede, iar automatul îți dă o cafea. Dacă pui mai multe monede, automatul răspunde cu o cafea mai bună.

Funcția este un fel de automat de cafea matematic. Pui în funcție o intrare (monedele), iar funcția întoarce o ieșire (cafeaua). Acesta este întregul principiu de bază al funcției.

Sarcina funcției este să primească o intrare, un număr, să facă ceva cu acest număr în interior, să-l transforme și apoi să returneze la ieșire noul număr.

Noțiuni de bază

Fiecare funcție are un nume care o desemnează. Cel mai des, o funcție se numește „f”. Pentru o funcție avem nevoie de o regulă care să stabilească cum lucrează funcția — cum prepară automatul cafeaua. Pentru început, ne putem imagina funcția ca pe un tabel cu două coloane. În prima coloană se află intrarea (în cazul automatului, valoarea monedelor), iar în a doua ieșirea funcției (cafeaua).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{intrare}& \text{ieșire}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vedem că ieșirea este mereu de două ori mai mare decât intrarea, dar nu trebuie să fie neapărat așa. Putem avea și un tabel ca acesta:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{intrare}& \text{ieșire}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Totuși, pentru început ne ajunge primul tabel, cel regulat. Putem spune că acest tabel definește funcția f. Ce face funcția? Îi dăm o intrare, funcția caută această intrare în prima coloană a tabelului și returnează ieșirea de pe același rând. Dacă vrem să aflăm ieșirea funcției pentru numărul trei, am scrie așa:

$$f(3)=6$$

Am găsit rândul în care intrarea este egală cu trei, iar pe același rând ieșirea era egală cu șase. Mai departe ar fi valabile f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 și f(5) = 10. Notarea tuturor funcțiilor cu ajutorul tabelelor poate părea clară pentru câteva numere, dar dacă lucrăm cu mai multe numere, este foarte nepractic. De aceea avem nevoie de o altă formă de scriere. O putem da printr-o formulă (regulă) a funcției. În tabelul nostru, ieșirea era de două ori mai mare decât intrarea. Cu o formulă, am scrie asta așa:

$$f(x)=2\cdot x$$

Aceasta este o funcție de gradul întâi simplă, dar deocamdată nu contează. Ce ne spune această expresie? Litera f este numele funcției, asta știm deja. Expresia din paranteze, adică litera x, este parametrul funcției. În analogia cu automatul, ar reprezenta „valoarea monedelor introduse”. Parametrul funcției este o variabilă în care se memorează valoarea pe care o transmitem. Dacă am introduce în automat (în funcție) douăzeci de lei, în funcție ar fi valabil x = 20. Mai departe, automatul sau funcția lucrează cu această valoare după regula sa.

Urmează semnul egal, iar după el este regula propriu-zisă, care ne spune ce trebuie făcut cu valoarea x. Vedem că funcția înmulțește valoarea primită x cu doi. Atât.

Alte exemple de funcții

În partea dreaptă poate fi practic orice expresie matematică. Pot fi acolo și alte funcții, pot fi condiții care precizează definiția. Am putea defini în cuvinte o funcție, de exemplu, așa: „dacă intrarea este un număr par, returnează zero; dacă intrarea este un număr impar, returnează unu”. Aceasta va fi o funcție care returnează doar unu și zero, dar este totuși o funcție.

Este important să înțelegi că o funcție poate fi definită aproape în orice fel. Și funcția are, desigur, regulile ei, dar acestea nu sunt acum atât de importante — de altfel, una dintre reguli este menționată chiar în capitolul următor. Definiția unei funcții nu trebuie să aibă, la prima vedere, vreun sens, nu trebuie să aibă vreo ordine. O funcție poate foarte bine să returneze mereu dublul valorii, cu excepția cazului în care la intrare este șapte. Atunci returnează nouă. Probabil nu are prea mult sens, dar și aceasta este o funcție.

Funcție putem numi și o mare parte dintre operațiile pe care le facem în afara matematicii. De exemplu, dacă numeri câte litere are cuvântul „mamut”, putem spune că ai apelat o funcție numită „lungimea cuvântului” și i-ai transmis ca argument cuvântul „mamut”. Funcția a numărat literele din cuvânt și a returnat la ieșire numărul cinci.

Trebuie să calculezi ce dobândă compusă vei plăti pentru un împrumut sau pentru un credit ipotecar? Și asta o poate face o funcție. Pur și simplu definești o funcție care calculează mărimea dobânzii, de exemplu, după zece ani. Trebuie să afli câți kilometri mai poate parcurge o mașină cu un anumit număr de litri de benzină? Definește o funcție! Dacă mașina parcurge în medie, de exemplu, 11 kilometri cu un litru de benzină, atunci funcția care calculează câți kilometri mai putem parcurge poate fi definită astfel:

$$\text{parcurs}(x)=11\cdot x$$

Dacă ne-au mai rămas doar 17 litri de benzină, calculăm distanța apelând funcția astfel:

$$\text{parcurs}(17)=11\cdot 17=187$$

Funcția este, pe scurt, orice ne returnează un număr pentru o anumită intrare. Returnează distanța în linie dreaptă de la Oradea până la un oraș dat, returnează lungimea celei mai lungi melodii de pe un album dat, returnează numărul de fire de păr de pe capul unei persoane date, returnează numărul de picioare ale unui animal dat etc.

Proprietatea de bază a funcției

O condiție extrem de importantă pentru o funcție este, ca să ne întoarcem la tabel, ca în prima coloană, cu intrarea, nicio valoare să nu se repete de două ori. Dacă tabelul ar arăta așa:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{intrare}& \text{ieșire}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… atunci nu am putea spune ce trebuie să returneze funcția dacă îi dăm la intrare unu:

$$f(1)=?$$

Funcția trebuie să fie definită clar, nu se poate ca pentru aceeași intrare să returneze două rezultate diferite. Pur și simplu nu merge. Cerem ca funcția să returneze mereu aceeași ieșire pentru aceeași intrare. Atenție, această cerință nu se referă la a doua coloană, cea a ieșirilor. Ieșirile pot fi foarte bine egale, asta nu ne deranjează. Acest tabel ar fi valid:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{intrare}& \text{ieșire}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Evaluarea funcției

Știm deja cum se numește fiecare parte a funcției și cum se definește ea, în linii mari. Acum vom explica pas cu pas cum decurge evaluarea unei funcții. Avem deci funcția f(x) = 2x. Ce se întâmplă dacă introducem în funcție numărul trei? Dacă vrem să introducem trei în funcție, înseamnă să înlocuim parametrul funcției cu numărul trei. Argumentul funcției este trei, așa că înlocuim toți x cu trei:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Vedem deja că funcția returnează șase, la fel ca tabelul de adineauri. Tabelul însă se limita doar la cinci numere, în timp ce noua noastră definiție poate primi și alte numere:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Acestui procedeu, în care înlocuim variabila x cu valori concrete, îi spunem evaluarea funcției sau apelul funcției, eventual aplicarea funcției. Dacă spunem deci că „apelăm funcția f cu argumentul 5”, vrem să calculăm valoarea f(5), care în cazul nostru va fi f(5) = 2 · 5 = 10.

Încă doi termeni de reținut. Ceea ce folosim la apelul funcției (ceea ce înlocuim în locul lui x) se numește argumentul funcției. Poate părea puțin confuz, dar dacă avem funcția f(x) și o apelăm cu valoarea trei, f(3), atunci x este parametrul funcției, iar 3 este argumentul funcției. Argumentul este valoarea propriu-zisă cu care apelăm funcția. Parametrul este variabila inițială cu care este definită funcția. Este mai degrabă un detaliu tehnic.

Un alt termen este valoarea funcției, adică valoarea pe care funcția o returnează la ieșire. Funcția anterioară a returnat, la apelul cu numărul trei, numărul șase. Numărul șase este deci, în acest caz, valoarea funcției. Într-o propoziție completă, am spune „funcția f are în punctul trei valoarea șase”. Prin „punct” se înțelege de obicei, în acest context, argumentul funcției.

Funcțiile în matematica obișnuită

În matematica obișnuită există o mulțime de funcții care au un mod de scriere foarte special, încât nici nu pare că ar fi funcții. De exemplu, modulul (valoarea absolută) nu este altceva decât o funcție. La intrare primește un număr, iar la ieșire returnează fie același număr, fie numărul cu semn opus.

Cu siguranță recunoști simbolul pentru radical: $\sqrt{}$. Și aceasta este o funcție. La intrare primește un argument, iar la ieșire returnează rădăcina pătrată. La fel, și ridicarea la pătrat, adică a doua putere x², este o funcție. La intrare primește un număr, iar la ieșire returnează pătratul acelui număr.

Este destul de important să realizezi că majoritatea unor astfel de simboluri „magice” nu sunt de fapt nimic mai complicat decât o funcție obișnuită. Nu te uita la simbolul $\sqrt{}$ ca la o formă ciudată, încovoiată, ci privește-l ca pe o funcție.

O expresie care conține o grămadă de simboluri matematice poate fi derutantă mai ales pentru un începător, care la jumătate dintre ele nu știe ce să facă, deși este vorba pur și simplu despre câteva funcții compuse. Să luăm ca exemplu următoarea expresie:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Când se uită la ea un nespecialist, se scarpină în cap și nu prea știe ce să facă. Totuși, în această expresie sunt cuprinse patru funcții destul de simple, care se aplică pe rând variabilei x. Am putea să o scriem cu ajutorul unor funcții cu nume și imbricate astfel:

$$\text{factorial}(\text{radical}(\text{modul}(\text{la2}(x))))$$

Scrierea este mai lungă, dar pentru cineva care nu se descurcă în simboluri este probabil mai clară. În același timp, ordinea în care se vor apela funcțiile este complet limpede.

Rezumatul notației funcțiilor

Funcția are un nume, care poate fi practic orice. Cel mai des, o funcție generală se numește f. Fiecare funcție are un număr dat de parametri, pe care îi scriem în paranteze rotunde după nume. Dacă funcția noastră f ar avea doi parametri, am scrie astfel: f(x, y) sau f(a, b). Numele parametrilor nu contează, în general.

Unele funcții folosite des au propriul simbol, de exemplu radicalul are simbolul $\sqrt{}$. Mai departe, sin sau sin(x) este funcția sinus, |x| este funcția modul, iar x! este funcția factorial.

Dacă o funcție are un singur parametru, uneori omitem parantezele, ceea ce uneori face scrierea mai clară, iar alteori nu. Astfel, sin(x) și sin x sunt scrieri valide ale funcției sinus.

Când vorbim despre parametrul funcției, ne referim la litera x din scrierea f(x). Argumentul este apoi valoarea cu care apelăm funcția, cea pe care o înlocuim în locul lui x. Adesea cei doi termeni se confundă. Valoarea funcției este valoarea pe care o obținem după apelul funcției. O scriem simplu ca numele funcției, paranteze și argumentul. Dacă avem funcția f(x) = 2x și în locul parametrului x punem argumentul x = 4, spunem că am apelat funcția cu argumentul x = 4, iar valoarea rezultată f(4) este egală cu opt.