Funcția pară și funcția impară

La funcții putem determina paritatea, adică putem stabili dacă o funcție este pară sau impară. În cazul extrem poate fi și pară, și impară în același timp, dar de cele mai multe ori nu este nici pară, nici impară.

Funcția pară

Funcția este pară dacă respectă o regulă simplă — când introduci în funcție un element x și apoi opusul lui, −x, funcția trebuie să returneze aceeași valoare. O funcție pară tipică este f(x) = x². Dacă o apelezi cu argumentele 6 și −6, obții: f(6) = 36 și f(−6) = 36. Argumentul s-a deosebit doar prin semn, deci rezultatul este același.

Definiția formală ar putea arăta așa. Dacă funcția f este pară, trebuie să respecte

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

Pentru orice x din domeniul de definiție al funcției trebuie să fie adevărat că, și dacă apelăm funcția cu opusul argumentului, adică −x, valorile funcției sunt egale.

Cum se vede o funcție pară în grafic? Dacă introducem în funcție x și −x, obținem același y. Așadar, dacă ne gândim: x și −x se află pe axa Ox la aceeași distanță de origine și au aceeași coordonată y. Aceasta înseamnă că graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy. Pentru ilustrare, graficul funcției x²:

Dintre funcțiile uzuale sunt pare: cosinusul și funcțiile de forma f(x) = x^a, unde a este un număr par. Dintr-o funcție impară ne face o funcție pară modulul, de exemplu f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Funcția impară

Funcția impară trebuie să respecte reguli asemănătoare cu cele ale funcției pare. Funcția f este impară dacă respectă această regulă:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

În practică aceasta înseamnă că, dacă punctul (a, b) aparține unei funcții impare, atunci îi aparține și punctul cu coordonatele opuse, adică (−a, −b). Un exemplu de funcție impară este f(x) = x³. Dacă înlocuim pe x cu doi, obținem:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

În a doua expresie am obține

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Cum se vede în grafic? Dacă funcției trebuie să-i aparțină punctul (a, b) și totodată (−a, −b)? Dacă desenezi, vei observa că un asemenea grafic este simetric față de originea sistemului de coordonate, adică față de punctul O(0, 0). Graficul funcției f(x) = x³ este reprezentat în figura următoare.

Dintre funcțiile uzuale sunt impare: f(x) = x^a, unde a este impar, f(x) = ax, unde a este un număr real oarecare (este deci o funcție de gradul întâi fără termen liber). Mai sunt și f(x) = a/x sau sinusul.

Verificarea parității

Cum verificăm dacă o funcție este pară? Trebuie să folosim definiția. Să luăm, de exemplu, cunoscuta funcție f(x) = x². O verificăm după definiție, care ne spune că f(x) = f(−x). Dacă funcția este pară, trebuie să respecte:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Pe (−x)² îl putem descompune, după regulile de calcul cu puteri, astfel:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

(−1)² este egal cu unu, deci obținem înapoi doar x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Este următoarea funcție pară?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Înlocuim în definiție:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Aceste fracții le putem rearanja astfel: în loc să avem modulul pentru întreaga fracție, îl mutăm la numărător și la numitor.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Modificăm numitorul celei de-a doua fracții, deoarece cu siguranță |x| = |−x|, din definiția modulului.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Acum obținem egalitate.

Verificarea imparității

Cum verificăm dacă o funcție este impară? Din nou trebuie să folosim definiția. Ea spune că funcția f este impară dacă

$$f(-x)=-f(x)$$

Să începem cu funcția f(x) = x³. Înlocuim în definiție:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Membrul stâng îl putem descompune la fel ca în exemplul precedent:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

(−1)³ este −1:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Deci avem egalitatea:

$$-x^3=-x^3$$

Funcția este impară.

Este funcția dată impară?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Înlocuim în definiție:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Nu prea avem ce simplifica aici, semnul minus din prima fracție îl scoatem pur și simplu în fața întregii fracții, astfel că obținem egalitatea:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funcția este impară.

Nici pară, nici impară

O funcție poate să nu fie nici pară, nici impară. Cele mai multe funcții sunt așa. Un exemplu este funcția de gradul întâi f(x) = x + 1. Încercăm să înlocuim în definiția parității:

$$x+1=-x+1$$

Exprimăm x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Egalitatea nu este adevărată pentru orice x, ci doar pentru unele, deci funcția nu este pară. Acum imparitatea:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Această ecuație nu are niciodată soluții, de aceea funcția nu este impară.

Și pară, și impară

Există o funcție care să fie și pară, și impară în același timp? Există un grafic simetric atât față de axa Oy, cât și față de origine? Răspunsul este da. Există o singură funcție care este și pară, și impară, și anume funcția constantă f(x) = 0. Graficul funcției coincide exact cu axa Ox.

Observație: de fapt există o infinitate de asemenea funcții, deoarece putem defini o funcție g(x) care are aceeași formulă, dar este definită pe un alt domeniu de definiție. De exemplu, putem avea funcția g(x) = 0 cu domeniul de definiție format doar din numerele naturale. Această funcție se deosebește de funcția f(x), care este definită pe numerele reale. Totuși, formula va fi întotdeauna aceeași.

Operații cu funcții pare și impare

O situație interesantă apare când avem două funcții pare sau impare și încercăm să le adunăm, să le înmulțim etc. De exemplu, suma a două funcții pare este din nou o funcție pară. Regulile și combinațiile sunt numeroase.