Domeniul de definiție al unei funcții

Domeniul de definiție al unei funcții este format din toate valorile admise pe care le putem înlocui în funcția f(x) în locul argumentului x, astfel încât funcția dată să aibă sens.

Ce este domeniul de definiție al unei funcții

Un exemplu simplu este funcția f(x) = 1/x. Domeniul de definiție este mulțimea tuturor valorilor admise care, introduse în funcția 1/x, ne dau o expresie validă.

Ca să știm ce este o „expresie validă”, trebuie să cunoaștem proprietățile funcțiilor și ale operațiilor. În funcția noastră împărțim la variabila x, variabila x se află la numitorul unei fracții. La ce valori putem împărți? La toate, cu excepția lui zero. Nu putem împărți la zero, la fel cum zero nu are voie să fie la numitorul unei fracții. Împărțirea nu are altă restricție.

De aceea, în locul lui x putem pune orice număr real, în afară de zero. Domeniul de definiție este deci: D_f = ℝ ∖ {0}. Domeniul de definiție se notează de obicei cu litera D, iar ca indice scriem funcția al cărei domeniu de definiție îl calculăm.

În acest moment am calculat cel mai mare domeniu de definiție. Dar, deoarece am definit domeniul de definiție ca mulțimea valorilor pe care le putem înlocui în locul lui x, orice submulțime a domeniului de definiție va fi, la rândul ei, un domeniu de definiție. Uneori ne poate fi util să restrângem funcția doar la anumiți x. De exemplu, în șiruri ne limităm doar la numerele naturale, iar în trigonometrie se lucrează adesea doar pe intervalul [0, 2π].

Totuși, dacă avem un exercițiu în care trebuie să calculăm domeniul de definiție al unei funcții, se presupune de obicei că trebuie să calculăm cel mai mare domeniu de definiție posibil.

Domeniul de definiție se poate citi și din graficul funcției. Ca exemplu, să luăm graficul funcției anterioare f(x) = 1/x.

Dacă proiectezi graficul pe axa Ox, obții domeniul de definiție. Dacă punctul x nu aparține domeniului de definiție, atunci, dacă duci în acest punct o dreaptă verticală, perpendiculară pe axa Ox, această dreaptă nu intersectează niciun punct al graficului. Vedem că doar zero îndeplinește această condiție — el nu are „deasupra sau dedesubtul lui” niciun punct din graficul funcției. Toate celelalte au.

Calculul domeniului de definiție

Ca să calculezi domeniul de definiție al unei funcții compuse, trebuie să cunoști domeniile de definiție ale tuturor funcțiilor din care este compusă funcția compusă. Altfel nu merge. Dacă ți-aș cere să calculezi domeniul de definiție al funcției f(x) = unu(x) + doi(x), nu te-ai descurca, pentru că nu știi cum sunt definite funcțiile unu și doi. Iată domeniile de definiție ale unor funcții elementare:

• Logaritmul are D_f = (0, +∞).
• Radicalul are D_f = [0, +∞).
• Tangenta are D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}, k ∈ ℤ.
• Cotangenta are D_f = ℝ ∖ {kπ}, k ∈ ℤ.
• Funcția exponențială are D_f = ℝ.
• Funcția de gradul întâi și funcția de gradul al doilea au D_f = ℝ.

Dacă avem dată o singură funcție, este foarte simplu. Aflăm ce domeniu de definiție are acea funcție, ne uităm la argument și apoi îl introducem convenabil într-o (in)ecuație. Așadar, un exemplu — determină domeniul de definiție al funcției log(3x + 2). Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, de aceea trebuie să avem 3x + 2 > 0. Aceasta este o inecuație de gradul întâi, pe care o rezolvăm simplu:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Domeniul de definiție este format din toți x care verifică această inecuație, deci D_f = (−2/3, +∞).

Calculează domeniul de definiție al funcției $\sqrt{2x+8}$.

Sub radical nu poate fi un număr negativ, deci rezolvăm inecuația 2x + 8 ≥ 0 și obținem rezultatul:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Deci D_f = [−4, +∞).

Calculează domeniul de definiție al funcției 1/x².

La numitor nu poate fi zero, deci rezolvăm ecuația x² ≠ 0. Aceasta este valabilă când x ≠ 0, deci D_f = ℝ ∖ {0}.

Descompunerea funcțiilor compuse

În cazul funcțiilor compuse situația este puțin mai complicată, pentru că trebuie să luăm în considerare mai multe funcții care se influențează reciproc și își restrâng treptat domeniul de definiție. Să luăm, de exemplu, acest caz:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Aici trebuie să fie îndeplinite două condiții. Expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero, nu are voie să fie negativă. De aceea x ≥ 0. Numai că radicalul se află la numitorul unei fracții, deci radicalul nu are voie să fie egal cu zero, altfel fracția nu ar mai avea sens. Așadar întărim condiția anterioară la x > 0.

Procedăm asemănător și în celelalte exemple. Important este însă să stabilim ordinea funcțiilor imbricate –- trebuie să aflăm care funcție este interioară și care este exterioară. În exemplul anterior era evident –- funcția interioară era radicalul, iar cea exterioară fracția. Dacă am vrea să calculăm expresia manual, mai întâi am extrage radicalul din argumentul x și abia apoi am calcula fracția. Este un truc destul de util –- funcția cea mai interioară este aceea cu care ai începe să calculezi dacă ai calcula manual. Un alt exemplu:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\mathrm{tg}(x)){)}^3}$$

Acum putem alege abordarea opusă. Vom căuta funcțiile exterioare. Funcția exterioară „învelește” funcțiile interioare. Aici, în mod cât se poate de evident, radicalul de ordinul cinci învelește toate funcțiile rămase. Mai departe, ridicarea la puterea a treia învelește rezultatul logaritmului, logaritmul învelește tangenta și, în sfârșit, variabila x este învelită de tangentă. Simplu. Cu metoda de mai înainte putem proceda așa: dacă știm valoarea x, o aplicăm mai întâi funcției tangentă. Este deci funcția cea mai interioară. Rezultatul îl aplicăm logaritmului –- este deci a doua funcție, numărând dinspre interior. Rezultatul îl ridicăm apoi la putere, iar la sfârșit extragem radicalul.

Descompune funcția compusă:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Începem cu funcția exterioară. Aceasta este sinusul. Apoi, în ordine, urmează fracția, apoi logaritmul, apoi funcția exponențială (imaginează-ți această substituție: 10^a) și, în sfârșit, funcția de gradul întâi 2x + 3.

Descompune funcția compusă:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Funcția exterioară este funcția exponențială 2^a. Apoi urmează fracția, iar la numitorul fracției este radicalul și, în sfârșit, funcția de gradul întâi 3x.

Domeniul de definiție al funcțiilor compuse

Dacă știi să descompui funcțiile în exterioare și interioare, nu mai poate fi nicio problemă să determini domeniul de definiție. Vom arăta direct pe un exemplu:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Începem cu fracția. La ea trebuie să avem numitorul diferit de zero. Scriem:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Din proprietățile funcției sinus știm că ea atinge valoarea 1 în punctul x = π/2. Deoarece este o funcție periodică, obținem mulțimea M = {π/2 + 2kπ}, k ∈ ℤ. Aceasta este mulțimea valorilor pentru care numitorul este egal cu zero. Acești x nu îi putem înlocui în funcția noastră.

Dar asta nu e tot, trebuie să ne uităm și la domeniul de definiție al funcției sinus. Acesta este, din fericire, egal cu ℝ, deci nu ne restrânge cu nimic. Restricția este dată doar de numitorul fracției. Deci D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}, k ∈ ℤ.