Reuniunea, intersecția, diferența și complementara mulțimilor

Cu mulțimile putem efectua diverse operații. Printre cele mai elementare se numără reuniunea, intersecția, diferența și complementara.

Reuniunea mulțimilor

Reuniunea mulțimilor o notăm cu simbolul ∪, deci reuniunea mulțimilor A și B se notează clasic A ∪ B. Prin reuniunea mulțimilor A și B se obține o mulțime nouă, care conține toate elementele mulțimii A și, de asemenea, toate elementele mulțimii B. Definiția:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Exemplu: fie două mulțimi A = {1, 3, 5, 7} și B = {2, 4, 6}. Prin reuniune se obține mulțimea: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Mulțimea rezultată conține elementele ambelor mulțimi.

Alt exemplu: A = {1, 2, 3} și B = {2, 3, 4}. Prin reuniune obținem: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Elementele 2 și 3 nu vor apărea de două ori în mulțimea rezultată, pentru că o mulțime nu conține un element de mai multe ori.

Alte proprietăți:

• A ∪ A = A: dacă reunim două mulțimi egale, obținem din nou aceeași mulțime.
• A ∪ B = B ∪ A: reuniunea este comutativă, ordinea nu contează.
• A ∪ ∅ = A: mulțimea vidă nu conține niciun element, deci nu avem ce reuni.

Intersecția mulțimilor

Prin intersecția a două mulțimi A și B se obține o mulțime nouă, care conține elementele pe care cele două mulțimi le au în comun. Mai exact, mulțimea nouă conține elementele care aparțin lui A și, în același timp, aparțin lui B. Intersecția o notăm cu simbolul ∩. Definiția:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Exemplu: A = {1, 3, 5, 7, 9} și B = {4, 5, 6, 7}. Intersecția este egală cu A ∩ B = {5, 7}. Alt exemplu: A = {a, b, c, d, e} și B = {f, g, h, i, j}. Intersecția este egală cu: A ∩ B = ∅. Aceste mulțimi nu au niciun element comun, deci intersecția este mulțimea vidă.

Alte proprietăți:

• A ∩ A = A: intersecția a două mulțimi egale este din nou aceeași mulțime.
• A ∩ B = B ∩ A: intersecția este comutativă, ordinea nu contează.
• A ∩ ∅ = ∅: mulțimea vidă nu conține niciun element, deci sigur nu are niciun element comun cu mulțimea A.

Diferența mulțimilor

Diferența mulțimilor o notăm cu simbolul obișnuit pentru minus − sau, mai bine, cu un minus oblic ∖. Prin diferența a două mulțimi A și B înțelegem mulțimea care conține toate elementele lui A și, în același timp, nu conține niciun element al lui B. Pe scurt, te uiți ce elemente are prima mulțime în comun cu a doua și pe acelea le elimini. Definiția:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Exemplu: A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {4, 5, 6, 7, 8}. Diferența va fi egală cu A ∖ B = {1, 2, 3}. Sunt elementele care ne rămân când din mulțimea A eliminăm toate elementele care se află în mulțimea B. Alt exemplu: A = {a, b, d, e}. Diferența A ∖ A = ∅.

Alte proprietăți:

• A ∖ A = ∅: la fel cum, scăzând două numere egale, obținem zero (de exemplu 5 − 5 = 0), scăzând două mulțimi egale obținem mulțimea vidă.
• A ∖ ∅ = A: mulțimea vidă nu conține niciun element, deci din mulțimea A nu putem elimina niciun element.

Complementara unei mulțimi

Complementara mulțimii A se notează în fel și chip. În România se scrie de obicei C_M A (complementara lui A în raport cu M), iar des întâlnite sunt și apostroful A' sau bara de deasupra: $\bar{A}$. Pentru simplitate voi folosi apostroful. Ca să calculăm complementara mulțimii A, trebuie să știm în ce mulțime o calculăm. Complementara unei mulțimi reprezintă toate elementele care nu se află în mulțimea A, deci este un fel de opus al mulțimii A.

Dacă avem ca mulțime principală M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, atunci complementara mulțimii A = {2, 4, 6, 8, 10} în M este mulțimea A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Conține toate elementele din M care nu se află în A. Putem spune că A' în M este egală cu M ∖ A.

Dacă luăm ca mulțime principală numerele întregi, atunci complementara mulțimii numerelor pare va fi mulțimea numerelor impare. Complementara mulțimii A = {1, 2, 3, 4} va fi mulțimea A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Pentru complementară este adevărat că, dacă o aplicăm de două ori, obținem înapoi mulțimea inițială. De exemplu, în mulțimea numerelor întregi: complementara numerelor pare este mulțimea numerelor impare. Iar complementara numerelor impare este din nou mulțimea numerelor pare. Deci A = A'' (complementara complementarei lui A).