Addition och subtraktion
Addition och subtraktion är de mest grundläggande matematiska operationerna, som vi behöver även i vardagen. Man kan addera många olika strukturer, men här håller vi oss till addition av heltal.
Addition
Additionen betecknas med plustecknet +. Vid addition adderar vi termer, så om vi vill beräkna 2 + 3 kallas både tvåan och trean för term. Resultatet är summan, alltså femman i uttrycket 2 + 3 = 5 är summan.
Vi kan addera praktiskt taget vilka tal som helst, antingen naturliga tal som 1, 5, 157 eller negativa tal som -4, -74. Vidare kan vi addera rationella tal, alltså bråk, reella tal som till exempel π och till sist även komplexa tal. Vi kan också addera andra strukturer — matriser eller vektorer.
Addition brukar förklaras med en hög äpplen — om du har tre äpplen i en korg och någon ger dig fyra äpplen till, hur många har du då? Du har 3 + 4 = 7.
Hur man adderar stora tal
Om jag gav dig uppgiften att beräkna 17 564 + 3272 skulle du förmodligen inte kunna svara direkt i huvudet. Därför använder man antingen en miniräknare eller penna och papper. Hur du knappar in det på miniräknaren tänker jag inte lära dig, utan vi koncentrerar oss på uppställningen på papper.
Talen som vi vill addera skriver vi under varandra och justerar dem åt höger — så att samma positioner (ental, tiotal, hundratal, …) hamnar under varandra. Under båda talen drar vi ett vågrätt streck. Det ser då ut så här:
Nu adderar vi talen som står under varandra. Om summan är mindre än tio skriver vi helt enkelt summan under strecket. Vi börjar från höger, med den minsta positionen. Först adderar vi alltså 4 + 2, vilket är sex. Sex är mindre än tio, så vi skriver sex under strecket:
Vi fortsätter och adderar 6 + 7. Det blir 13, vilket redan är större än tio. Nu skriver vi under strecket bara siffran på entalsplatsen, alltså trean (vi tar bort en tia från tretton).
Vad hände med ettan som vi tog bort? Och vad står den för? Nu räknar vi med den andra kolumnen från höger, som i talet står för tiotal. Egentligen adderade vi alltså tiotal, det vill säga 60 + 70 = 130. Vi bestämde oss för att behålla talet 30 och sparade 100 till senare. Till när? Till nästa steg, nästa kolumn. I nästa steg kommer vi till siffrorna som motsvarar hundratal. Vi har ett hundratal extra, som vi fick när vi adderade tiotalen. Då är det enklast att lägga till det hundratalet i nästa additionssteg.
I stället för att i nästa steg addera 5 + 2 ska vi alltså addera 5 + 2 + 1, där ettan står för hundratalet som vi fick i föregående steg. Det totala resultatet är åtta, vilket är mindre än tio. Vi skriver därför åtta under strecket.
Till nästa steg följer inget tusental med, så vi adderar bara 7 + 3 = 10. Det talet är inte mindre än tio, så vi skriver den sista siffran under strecket och ettan går vidare. Under strecket skriver vi alltså noll och sparar ett tiotusental extra till nästa steg.
I den sista kolumnen har vi en siffra bara på första raden. På andra raden tänker vi oss en nolla och adderar 1 + 0, och vi får inte glömma att lägga till ettan från föregående steg: 1 + 0 + 1 = 2. Under strecket skriver vi tvåan.
Därmed är algoritmen klar och vi har summan av talen 17564 + 3272.
Animation av skriftlig addition
I rutorna nedan kan du skriva in två naturliga tal och sedan bara njuta av animationen av hela uppställningen.
Grafisk framställning av addition
Addition kan vi framställa grafiskt på en tallinje. Tallinjen är en linje där alla tal är markerade. Den kan se ut så här:
Om vi vill illustrera addition av två tal på tallinjen, till exempel 3+4, gör vi så här: Vi ritar en sträcka som börjar i origo, det vill säga i noll, och slutar i tre. Vid addition riktar vi sträckan åt höger från punkten där vi började. Så här:
Nu avsätter vi fyran på tallinjen. Den här gången börjar vi dock i talet tre och drar därifrån en sträcka åt höger med längden fyra. Så här:
Punkten där den andra, gröna sträckan slutade är det slutliga resultatet: 3 + 4 = 7.
Subtraktion
Subtraktion är den inversa operationen till addition. Om du till ett tal a adderar talet b och sedan subtraherar talet b får du tillbaka talet a. Vi visar metoden på exemplet 158 748 − 99 575. Precis som vid addition skriver vi talen under varandra:
Under strecket skriver vi resultatet, precis som vid addition. Vi arbetar från höger, från de minsta positionerna. Först räknar vi alltså på entalen. Om det övre talet inte är mindre än det undre skriver vi under strecket differensen övre talet − undre talet. (Eller tvärtom — om det undre talet är mindre än eller lika med det övre kan vi subtrahera utan problem.) På entalsplatsen är det övre talet inte mindre, så vi skriver differensen 8 − 5 = 3.
Vi flyttar oss ett steg åt vänster, till tiotalsplatsen. Här är det övre talet mindre än det undre. Då lägger vi till en tia till det övre talet och gör sedan samma beräkning: övre talet + 10 − undre talet. Resultatet blir 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
När vi subtraherade tiotalen hjälpte vi oss alltså genom att växla in tio tiotal, och det måste vi tänka på i nästa steg. Tio tiotal är ett hundratal, så i nästa steg subtraherar vi ett hundratal mer. Det betyder att vi lägger ettan från föregående steg till den undre femman.
På hundratalsplatsen undersöker vi alltså om sjuan (det övre talet) är mindre än sexan (det undre talet + 1). Det är den inte, så vi kan göra den vanliga differensen övre minus undre. Även nu måste vi lägga till ettan till det undre talet, så resultatet blir 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Till nästa steg för vi inget vidare, i det här steget behövde vi inte växla från någon högre position. På tusentalsplatsen lägger vi alltså ingenting till. Åttan i det övre talet är dock mindre än nian i det undre, så vi måste lägga en tia till det övre talet. Vi får differensen 8 + 10 − 9 = 9.
Till nästa steg för vi över en etta, som vi lägger till det undre talet. Nio plus ett är tio, och den övre femman är mindre än tio. Vi lägger tio till det övre talet och räknar differensen: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Vi hjälpte oss återigen med en högre position, så vi för över en etta till nästa steg. Där saknas en siffra i den undre delen, så vi tänker oss en nolla. När vi lägger till ettan får vi resultatet ett. Det övre talet är inte mindre än det undre (nu är de lika), så vi kan helt enkelt subtrahera: 1 − 1 = 0.
Och så har vi resultatet. Nollan i början kan vi stryka och skriva: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Grafisk framställning av subtraktion
Precis som addition kan subtraktion framställas på tallinjen. Vi ändrar bara riktningen när vi avsätter sträckan. Vi avsätter inte sträckan åt höger från den aktuella punkten, utan åt vänster. Om vi till exempel skulle beräkna 2 − 5 gör vi så här. Först avsätter vi tvåan på tallinjen, i positiv riktning, eftersom tvåan är positiv. Femman subtraherar vi, så den blir i motsatt riktning.
Nu ritar vi in den andra sträckan, som representerar minus fem. Vi börjar i punkten där vi slutade, alltså i tvåan. Sträckan ritar vi dock åt andra hållet, åt vänster.
