Division av tal
Division av tal är motsatsen till multiplikation av tal. Division är dessutom en bra källa till humor, eftersom vi som alla vet inte kan dividera med noll – då skulle ju vårt kollegieblock brinna upp.
Vad division av tal är
Division kan vi tänka oss som att vi delar upp en stor helhet i lika stora mindre bitar. Säg att pappa behöver såga en planka som är 100 cm lång i fem lika stora delar. Hur stora blir de olika delarna?
Vi kan också gå åt andra hållet – om vi adderar längderna av alla fem avsågade bitar måste vi få tillbaka talet 100. Vilket tal uppfyller det? Det är talet 20, eftersom 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. I stället för addition kan vi också använda multiplikation. Vi kan fråga oss: vilket tal ger hundra när vi multiplicerar det med fem? Återigen talet 20, eftersom 5 · 20 = 100.
Grafiskt kan vi uttrycka det som att en sträcka med längden 100 delas i fem lika långa delar:
När vi vill dividera talet 100 med talet 5 tar vi reda på ”hur många gånger fem ryms i hundra”. Division skriver vi antingen med snedstreck: 100 / 5 eller med kolon: 100 : 5. Resultatet av en division av två tal kallas kvot. I våra exempel är talet 20 kvoten av talen 100 och 5. Talet till vänster kallas dividend (eller täljare), talet till höger divisor (eller nämnare). Division kan vi också skriva med hjälp av ett bråk: i stället för 100 / 5 kan vi skriva
- a kallas dividend,
- b kallas divisor,
- c kallas kvot.
Definition med hjälp av multiplikation
Kvoten kan vi enklast definiera med hjälp av multiplikation. Som exempel tar vi kvoten av de här talen: 35 / 7. Vad blir resultatet? Vi söker det tal som ger talet 35 när vi multiplicerar det med 7. Om vi i stället dividerade 48 / 8 skulle vi söka det tal som ger talet 48 när vi multiplicerar det med 8.
Resultatet av 35 / 7 är alltså talet 5, eftersom 7 · 5 = 35. Resultatet av 48 / 8 är talet 6, eftersom 8 · 6 = 48.
Om vi allmänt dividerar a / b är resultatet det tal c för vilket det gäller att b · c = a.
Även om vi har visat alla exempel med positiva heltal kan vi tack vare definitionen med multiplikation dividera även alla andra tal. Vi kan till exempel hitta kvoten −85,76 / 6,7 genom att hitta det tal x för vilket det gäller att 6,7 · x = −85,76. Det gäller för x = −12,8.
Noll kan vi dividera med ett annat tal
Noll kan vi dividera med ett tal, det här är ett giltigt uttryck: 0 / 15. I grund och botten säger vi därmed att vi vill dela noll i 15 lika stora delar. Vi kan tänka oss att vi inte har någon paj alls och att vi ändå vill dela den pajen, som vi inte har, i 15 bitar – hur stora blir de olika bitarna? De blir noll, eftersom vi helt enkelt inte har någon paj. Eller tänk dig att du har noll kronor i plånboken och vill dela de noll kronorna mellan tre barn. Hur mycket får varje barn? Ingenting alls, eftersom du helt enkelt inte har något. Därför är 0 / 15 = 0.
Vi kan dividera noll med ett annat tal, men vi kan inte dividera ett annat tal med noll. Det här uttrycket är ogiltigt: 8 / 0.
Men varför kan vi inte dividera med noll?
Vi kan inte dividera med noll, eftersom det är förbjudet enligt det elfte budordet.
Men det finns också mer övertygande skäl. Först intresserar vi oss för fallet där dividenden är skild från noll – divisionen har formen a / 0, där a ≠ 0. Vi räknar upp två skäl:
- Låt oss stanna vid liknelsen med att dela en helhet i mindre, lika stora delar. Vi har 15 av de allra grymmaste monstren. Nu vill vi dela dem mellan noll barn. Hur många monster får varje barn?
Va???
Ja, du läser uppgiften rätt, och ja, den är meningslös. Vi kan inte fråga hur många monster varje barn fick, när vi inte hade något barn att ge monstren till. Därför är det inte heller meningsfullt att dividera med noll, och vi säger att uttrycket x / 0 är odefinierat.
- Vi införde division med hjälp av multiplikation. När vi försöker dividera med noll, 15 / 0, söker vi något tal x för vilket det gäller att x · 0 = 15. Men allt gånger noll är noll, så vi hittar aldrig något x för vilket den här ekvationen har någon mening.
Och hur är det med kvoten 0/0?
Den är odefinierad på samma sätt som x / 0. Skälen:
Den här gången har vi noll av de grymmaste monstren som vi vill dela mellan noll barn. Det är återigen ett meningslöst krav.
Enligt definitionen av division söker vi, när vi dividerar 0 / 0, ett tal x för vilket det gäller att x · 0 = 0. Vi skulle hitta lösningar, eller mer exakt: vilket reellt tal som helst är en lösning till den här ekvationen. Vare sig vi sätter in 4, 1 eller π för x är ekvationen uppfylld. Det är förstås otillåtet att resultatet av en division skulle vara hela mängden av de reella talen, det har ingen mening.
Vi skulle behöva välja ut ett bestämt tal ur hela mängden och säga att just det talet är resultatet av divisionen 0 / 0. Men vilket? Skulle det vara lika med ett? Åtta? Noll? Minus ett? Och varför? Vi försöker ge argument för noll och för ett:
- Vi vet att om vi har ett bråk på formen x / x är det bråket lika med ett. Till exempel 7 / 7 = 1 eller 3 / 3 = 1. Av det skulle vi kunna dra slutsatsen att vi borde definiera 0 / 0 så att 0 / 0 = 1.
- Titta på den här följden av bråk som alla säkert är giltiga. I vart och ett av dem dividerar vi noll med ett tal som kommer allt närmare noll:
Vi ser att hur nära noll det tal vi dividerar med än är, får vi fortfarande noll som kvot. Av det skulle vi kunna dra slutsatsen att 0 / 0 = 0.
Båda är giltiga argument för hur vi skulle kunna definiera kvoten 0 / 0. Men vilket av dem är bäst? När allt kommer omkring skulle vi, även om vi valde det ena och förklarade det som det enda giltiga, ändå hamna i motsägelse med andra delar av matematiken.
Därför låter man hellre division med noll vara odefinierad.
Det slutgiltiga argumentet mot division med noll
Om de tidigare argumenten inte räckte, övertygar dig förhoppningsvis följande fotodokumentation av ett fall där någon verkligen försökte dividera med noll:
