Derivatan av en funktion

Derivatan är ett grundläggande begrepp i differentialkalkylen. Den spelar en viktig roll till exempel när man undersöker en funktions förlopp, och den är å ena sidan hatad av studenter och å andra sidan något som även en ordentligt tränad apa klarar av att räkna ut. I den här artikeln beskrivs och förklaras bara definitionen av derivata och närliggande begrepp. Lösta exempel hittar du i de närliggande artiklarna: enkla exempel på derivering och svårare exempel. Den omvända processen till att derivera är integration.

Vad är en derivata

Innan vi kommer till själva definitionen av derivata ska vi säga vad vi egentligen räknar ut med derivatan och vad vi kan ha den till.

Med derivatan av en funktion får vi tangentens lutning. Det var ganska många fula ord på en gång, så vi tar det från början. Enkelt sagt är en tangent en rät linje som rör vid grafen i precis en punkt. Det är ingen exakt definition, den kan du läsa på Wikipedia, men ungefär så. Titta nu på följande figur:

Den svarta kurvan är grafen till funktionen y = x². Den blå linjen är tangenten till funktionen i punkten D(1, 1), markerad med rött. Med grönt är vinkeln α markerad, den som tangenten bildar med x-axeln, närmare bestämt med den positiva x-axeln. Nu definierar vi begreppet tangentens lutning. I den här figuren är tangentens lutning tangens för vinkeln alfa. Tangens är en klassisk trigonometrisk funktion, med vilken vi till exempel kan beräkna vinklar och sidlängder i en triangel. Tangentens lutning är alltså tangens för den vinkel som tangenten bildar med den positiva x-axeln. Och den lutningen får vi just med hjälp av derivatan.

Vidare skiljer vi mellan derivatan av en funktion i en punkt och derivatan av en funktion. Derivatan av en funktion i en punkt är just tangentens lutning i den givna punkten. Derivatan av en funktion är då en annan funktion, som ger lutningen för ett allmänt argument x. Ett exempel följer.

Motivering

Med hjälp av derivatan kan vi alltså räkna ut tangenters lutning. Vad kan det vara bra för? Titta på följande figur:

I figuren ser vi återigen funktionen y = x² och fyra markerade tangenter. Två gröna och två blå. Lägg märke till att funktionen y = x² är strängt avtagande på intervallet ]−∞, 0[, medan den är strängt växande på intervallet ]0, +∞[. Men vad gäller samtidigt för deras tangenter, eller rättare sagt för vinkeln som de bildar med den positiva axeln? De blå tangenterna, som går genom punkter som hör till det intervall där funktionen växer, bildar med axeln en vinkel som är mindre än 90 grader. De gröna tangenterna bildar däremot med axeln en vinkel som är större än 90 grader. Hur syns det i tangenternas lutning?

För det behöver vi känna till hur funktionen tangens beter sig. Av följande graf ser vi att om vinkeln är mindre än 90 grader är värdet av tangens positivt (den blåmarkerade delen). Om vinkeln i stället är större än 90 grader men mindre än 180 grader (dvs. mindre än π radianer) är värdet av tangens negativt. Vilken slutsats kan vi dra? Om tangentens lutning (glöm inte att lutningen är just tangens för vinkeln) i en given punkt är positiv, så är funktionen strängt växande i punkten, och om den är negativ är funktionen strängt avtagande.

Definition

Innan vi kommer fram till själva definitionen av derivata har vi en lång väg att gå. Och vi behöver gränsvärdet av en funktion. Behärskar du inte gränsvärden, gå tillbaka till dem eller hoppa bara fram till formlerna, den fortsatta framställningen är nog inte för dig.

Innan vi går över till lutningen hos själva tangenten stannar vi vid lutningen hos en sekant, som är enklare. En sekant är en linje som skär grafen i två punkter. Nu försöker vi härleda hur vi skulle räkna ut den lutningen. Titta på figuren:

Där har vi grafen till funktionen x² + 1 och sekanten s, som skär grafen i två punkter (0,5; 1,25) och (2, 5). De här punkterna är markerade med blått. Eftersom de konkreta värdena inte intresserar oss särskilt mycket är de i grafen markerade allmänt som a och b samt f(a) och f(b). Här är f(a) värdet av funktionen f i punkten x = a. Och det stämmer: värdet av vår funktion x² + 1 i punkten x = 2 är 2² + 1 = 5.

Nu gäller det att härleda hur vi räknar ut vinkeln som är markerad som alfa, dvs. den vinkel som sekanten bildar med x-axeln. Först ändrar vi figuren lite så att vi får en triangel, då blir det lättare att arbeta med.

Vad har vi gjort? Vi har dragit en sträcka mellan de punkter där sekanten skär grafen till funktionen y = x² + 1 och kompletterat dem till en rätvinklig triangel ABC. Vad har vi vunnit på det? Vinkeln som är markerad som β har nämligen samma storlek som vinkeln α (de är likbelägna vinklar). Samtidigt känner vi längderna av sidorna AB och BC. Det gäller att |AB| = b − a (det är helt enkelt avståndet mellan punkterna b och a). På samma sätt gäller att längden |BC| = f(b) − f(a). Hur räknar vi nu ut storleken av vinkeln β, eller rättare sagt α?

Vi måste veta hur tangens beräknas. Tangens är förhållandet mellan motstående katet och närliggande katet, alltså är tangens för vinkeln alfa (beta) lika med förhållandet mellan längden av sidan BC och längden av sidan AB. Vi skriver det så här:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Eftersom lutningen är tangens för vinkeln har vi med den här formeln räknat ut sekantens lutning. Men hur hjälper det oss när vi vill räkna ut tangentens lutning? Föreställ dig att vi för punkterna A och C närmare varandra tills de sammanfaller. Närmandet visas i figuren:

Ju mer vi för den övre skärningspunkten närmare den undre, desto närmare är sekanten att bli en tangent. Den ursprungliga sekanten/linjen CA var långt ifrån en tangent. När vi för punkten C närmare punkten A får vi till exempel sekanten C₁A, som redan liknar en tangent mer. Sekanten C₂A liknar den ännu mer, osv.

När blir sekanten en tangent? I det ögonblick då de båda skärningspunkterna sammanfaller i en, dvs. när det för någon punkt C_n skulle gälla att C_n = A. Då har vi av sekanten fått en tangent, och det var det vi ville. Frågan är hur vi räknar ut lutningen, eftersom vi inte bara kan subtrahera de här två punkterna, de är ju lika:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Det här fungerar inte, så kan vi inte räkna. Det var inte för inte som vi bara förde punkterna närmare varandra. Vi kommer nämligen att behöva ett gränsvärde. Nu vill vi räkna ut tangentens lutning i den givna punkten (a, f(a)) och vi har lutningen för alla tänkbara sekanter (dem kan vi redan räkna ut). Vi räknar alltså ut lutningen för sekanter som vi successivt för närmare, så att vi får en tangent. Vi låter alltså b närma sig a. Vi kan inte föra punkterna så nära att de blir lika, men vi kan föra dem så nära att deras skillnad går mot noll i gränsen. Se där, ett gränsvärde. Vi låter alltså b närma sig a tills de i gränsen är lika. Vi beräknar alltså gränsvärdet då b går mot a. Det är allt, formeln ser ut så här:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Det här gränsvärdet kallar vi derivatan av funktionen f(x) i punkten x = a. Jag påminner om att vinkeln α är lika med vinkeln β. Vanligtvis använder vi inte variablerna a och b, utan vi söker derivatan i punkten x₀ och låter punkten x närma sig den. Då kan vi skriva:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Hittills har vi, på samma sätt som för kontinuitet hos en funktion, definierat derivatan i en enda punkt. Om vi har en funktion f(x) som är deriverbar på ett öppet intervall I, så definierar värdena av den här derivatan en funktion f′(x), som vi kallar derivatan av funktionen.

Derivatan skriver vi med ett prim i övre index, ungefär så här:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Du kan också möta en annan skrivform, med dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

I formeln som vi nyss använde kan vi alltså byta ut tangens mot beteckningen för derivata:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Vi kan också definiera en ensidig derivata från höger eller vänster med hjälp av ensidiga gränsvärden. Det tar vi inte upp nu, det är inte så viktigt.

En något annorlunda definition

En annan definition av derivatan av en funktion i en punkt ser ut så här:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Hur kommer vi fram till en sådan definition? Det räcker att ändra lite på figuren som vi utgick från. Vi kan nämligen uttrycka avståndet mellan punkten a och punkten b som h = b − a. Då kan vi skriva punkten b som a + h, eftersom h är just avståndet mellan b och a. Figuren skulle se ut så här:

Nedtill har vi punkterna a och a + h, på y-axeln sedan f(a) och f(a + h). Nu skapar vi på nytt en triangel och räknar ut tangens för vinkeln beta. Med den skillnaden att längden av sidan AB redan är beräknad, den är just h.

Ändlig och oändlig derivata

Även derivator kan vara ändliga eller oändliga, på samma sätt som gränsvärden av funktioner. Vad betyder det? Derivatan är ändlig om värdet av derivatan i punkten är lika med något reellt tal. Derivatan är oändlig om den är lika med plus eller minus oändligheten. Hur ska man föreställa sig det geometriskt? När är lutningen ”oändlig”? Vi börjar med en lättare fråga: hur ser en tangent ut vars lutning är lika med ett stort tal? Av grafen till tangens (se ovan) ser vi att om värdet av tangens är högt närmar sig vinkeln 90 grader (om vi rör oss i intervallet ]0, 180[).

Man kan av det dra slutsatsen att om en funktion har en oändlig derivata i en punkt, så bildar tangenten rät vinkel med x-axeln, den är vinkelrät mot den. Och det stämmer. Hur skulle grafen till en sådan funktion kunna se ut, och i vilken punkt skulle tangenten vara vinkelrät mot x-axeln? Till exempel funktionen $y=\sqrt[3]{x}$:

Grundläggande egenskaper

• För att en funktion ska ha derivata i en punkt måste den vara definierad i någon epsilonomgivning av punkten. Om en sådan omgivning inte fanns skulle vi inte kunna räkna ut de gränsvärden som derivatan definieras genom.

• Att gränsvärden är entydiga (existerar eller inte existerar) medför att om derivatan i en punkt existerar, så är den unik. Ingen funktion har flera derivator i en punkt. Antingen en eller ingen.

• På samma sätt som för ensidiga gränsvärden gäller att om en funktion har derivata i en punkt, så måste derivatan från vänster och från höger vara lika.

• Ibland behöver vi känna till den så kallade andraderivatan. Det är inget krångligt, vi deriverar helt enkelt funktionen en gång och sedan deriverar vi resultatet en gång till. Vi betecknar den med två prim: f''(x) = (f'(x))'.

• En viktig egenskap: om en funktion har derivata i en punkt, så är funktionen kontinuerlig i punkten. Det följer återigen av gränsvärdens egenskaper. Se upp, det gäller inte åt andra hållet. Att en funktion är kontinuerlig i en given punkt betyder inte att den är deriverbar där. Ett typiskt exempel är funktionen f(x) = |x|. Grafen har en spets, och i den spetsen går det inte att räkna ut tangentens lutning. Du kan försöka räkna ut derivatan från vänster och från höger, de blir olika.

  

• Med hjälp av derivator kan man också räkna ut vissa gränsvärden, det görs med l'Hôpitals regel.

Länkar

I artikeln bredvid hittar du en lista över formler för arbete med derivator. Fler hittar du på Wikipedia.

Du kan också titta på lösta exempel på derivator och sedan eventuellt på svårare exempel på derivering.

Behöver du snabbt kontrollera en derivering kan du använda något matematiskt verktyg, till exempel Wolfram|Alpha. Det räcker att skriva till exempel ”derive x^2+6x” i inmatningsfältet, så beräknar Wolfram derivatan av den angivna funktionen.