Enkla exempel på derivering

I den här artikeln visar vi först några användbara formler för att arbeta med derivator och försöker sedan derivera några funktioner, både enkla och krångligare. Om du inte letar efter lösta exempel utan behöver en förklaring av definitionen av derivata, gå till artikeln derivatan av en funktion.

Derivatan av polynom

Först nämner vi några formler som vi behöver när vi ska derivera funktioner som är polynom. Till vänster står den elementära funktion som vi vill derivera och till höger den funktion vi får efter deriveringen. För ordningens skull: c är en konstant (redan på första raden har vi alltså en konstant funktion) och vi deriverar med avseende på x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Några konkreta exempel:

$$f(x)=5$$

Det här är en konstant funktion, så vi använder den första formeln och får:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Den linjära funktionen f(x) = x har enligt den andra formeln derivatan

$$f^{\prime }(x)=1,$$

det finns inget mer att undersöka där. Därför provar vi att derivera funktionen

$$f(x)=x^5.$$

Vi använder den sista formeln, där vi sätter c lika med exponenten, det vill säga c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Formeln fungerar också för en negativ exponent, så om vi vill derivera funktionen

$$f(x)=x^{-7},$$

får vi:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

För att leka vidare behöver vi formler för addition och multiplikation av funktioner. Och om vi vill få tillbaka den ursprungliga funktionen från den deriverade använder vi integraler.

Derivatan av en summa

Om vi vill beräkna derivatan av en funktion som innehåller några uttryck i en summa, så beräknar vi helt enkelt derivatorna av de inre termerna och adderar delresultaten. Vi skriver det så här:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Ett enkelt exempel: låt f(x) = x + 5. Derivatan av den funktionen blir:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Vi delade upp funktionen i två funktioner, så här:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

och satte bara in i formeln. Det vill säga vi beräknade derivatorna av funktionerna f₁ och f₂ och adderade resultaten. Precis likadant fungerar det för subtraktion. Ett svårare exempel:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Återigen deriverar vi bara de tre termerna var för sig och låter dem stå kvar i en summa:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Derivatan av en produkt

En produkt löser man tyvärr inte lika enkelt som en vanlig addition, för en produkt av två funktioner måste vi använda en lite krånglig formel:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

En trivial funktion som innehåller multiplikation är till exempel funktionen

$$s(x)=5\cdot x^2$$

I formeln för multiplikation har vi två funktioner, och dem får vi av den här enda funktionen s(x) så här: f(x) = 5 och g(x) = x². Nu behöver vi bara sätta in:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Vi ser att om vi har en funktion på formen

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

så får vi efter deriveringen

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Den här regeln kan vi generalisera ytterligare och i stället för ett polynom sätta in en godtycklig funktion. För vilken funktion f(x) som helst gäller alltså

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Som exempel provar vi att derivera den här funktionen:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

I början av deriveringen använder vi först regeln för summa:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Uttrycken i produkterna skriver vi om enligt den senast nämnda formeln:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Vi deriverar uttrycken inom parentes enligt regeln för derivatan av x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Och till sist multiplicerar vi bara koefficienterna:

$$=15x^2-14x.$$

Derivatan av en kvot

Derivatan av en kvot är i sin tur lite krångligare än derivatan av en produkt. Formeln:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Men i övrigt är tillvägagångssättet analogt med det för produkten. Så vi tar ett exempel direkt:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Täljaren i bråket är funktionen f(x), nämnaren funktionen g(x). Och nu behöver vi bara sätta in i formeln:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

I nämnaren har vi nämnaren kvadrerad, och i täljaren har vi bråket utskrivet enligt formeln. Nu deriverar vi den första och den sista parentesen. Där har vi återigen regeln för summa, den hoppar jag över och skriver direkt resultatet:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Det här uttrycket kan vi förenkla ytterligare, men det är inte det väsentliga i det här kapitlet.

Derivatan av elementära funktioner

Nu anger vi, utan vidare härledning, några formler för att beräkna derivatan av vanliga funktioner.

Exponentialfunktioner och logaritmer:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Lägg märke till att derivatan av funktionen e^x åter är e^x. Det är inget tryckfel utan en trevlig egenskap som blivit grunden för massor av skämt.

Trigonometriska funktioner:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Ett enkelt exempel:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Båda uttrycken står i en summa, så det räcker att vi adderar derivatorna av de två uttrycken. Varje uttryck innehåller först en konstant som multiplicerar funktionen efter sig. Vi vet att det då räcker att derivera funktionen och låta konstanten vara. Det gör vi:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Det här är redan standardderivator:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Derivatan av en sammansatt funktion

Av derivatans egenskaper och av dess tillämpning vid undersökning av en funktions förlopp vet vi att vi under vissa villkor kan ha två funktioner som är deriverbara och att vi genom att sätta ihop dem åter får en funktion som är deriverbar. Vi visar hur man räknar ut derivatan av en sådan sammansatt funktion.

Derivatan av en sammansatt funktion är nog det svåraste begreppet bland de här grundläggande derivatorna. Funktioner kan vi sätta ihop. Vad en sammansatt funktion är kan du läsa närmare om i artiklarna Vad är en funktion eller Definitionsmängd för en funktion. Grovt sagt betyder det att vi som argument till en funktion ger en annan funktion. Den symboliska skrivformen skulle vara h(g(x)). En konkret funktion kan till exempel vara

$$f(x)=\sin (2x).$$

Vilka två funktioner finns där? Sinus och sedan den inre funktionen 2x. På den här funktionen f kan vi inte bara använda den allmänna formeln för sin(x), eftersom den förutsätter att argumentet är x, inte 2x. Beräkningen av derivatan av en sammansatt funktion går alltså till så här:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Det vill säga vi deriverar den yttre funktionen och låter den ha samma argument, och multiplicerar det med den deriverade inre funktionen. I exemplet med sinus skulle det gälla:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Primtecknet bara på sinus betyder att vi deriverar enbart själva sinusfunktionen, inte hela uttrycket som i uttrycket på vänstra sidan av likheten. Derivatan av sinus är cosinus, så i stället för sinus skriver vi bara cosinus. Och derivatan av 2x är 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Ett exempel till, lite svårare.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Här har vi ytterligare en inre funktion. Den yttre funktionen är cosinus, den mellersta är logaritmen och den innersta är potensen x². Men vi går återigen till väga enligt formeln. Vi skriver ut det:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Vi deriverar bara cosinus och låter argumentet till cosinus vara som det är, dvs. vi låter hela logaritmen stå kvar. Hela det här uttrycket multiplicerar vi sedan med derivatan av argumentet, dvs. derivatan av logaritmen. Vi deriverar cosinus och får:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Uttrycket till höger har inte ändrats, vi har bara deriverat cosinus. Nu tar vi oss an derivatan av logaritmen. Det är återigen en sammansatt funktion, så vi tillämpar formeln för sammansatta funktioner rekursivt. Det vänstra uttrycket skriver vi bara av:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Vi deriverar logaritmen och låter argumentet vara detsamma, dvs. x². Men hela uttrycket multiplicerar vi dessutom med derivatan av argumentet, dvs. just derivatan av x². Derivatan av logaritmen är bråket 1/x, där vi i stället för x sätter in vårt argument x², och derivatan av x² är 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$