Studio di funzione: estremi

Gli estremi di una funzione sono i punti in cui la funzione assume i suoi valori massimi o minimi.

Estremi di una funzione

Distinguiamo due tipi fondamentali di estremi – il minimo e il massimo. Distinguiamo inoltre il massimo e il minimo assoluto dal massimo e dal minimo relativo. Il massimo assoluto è il punto in cui la funzione ha il valore più grande tra tutti i punti del dominio. Se questo valore è assunto in un solo punto, diciamo che si tratta di un massimo stretto. La funzione, infatti, può avere il valore più alto in più punti, un po’ come due dipendenti diversi possono avere lo stesso stipendio più alto, 20.000 € al mese. Le definizioni di minimo e massimo sono riportate nell’articolo sulle funzioni.

Il minimo relativo, invece, si definisce solo su una parte del dominio della funzione, di solito su un intervallo. Definizione di massimo e minimo relativo:

• La funzione f ha nel punto M ∈ Dom f un massimo relativo se esiste un intorno U = (M − ϵ; M + ϵ), con ϵ > 0, tale che per ogni x ∈ U ∩ Dom f vale f(x) ≤ f(M).
• La funzione f ha nel punto m ∈ Dom f un minimo relativo se esiste un intorno U = (m − ϵ; m + ϵ), con ϵ > 0, tale che per ogni x ∈ U ∩ Dom f vale f(x) ≥ f(m).

Un esempio di funzione che ha infiniti estremi è la funzione f(x) = x · sen x:

E perché nella definizione c’è «per ogni x ∈ U ∩ Dom f», cioè perché c’è l’intersezione con il dominio? Per esempio perché la funzione data da questo grafico…

…ha nel punto m = 1 un minimo, ma in nessun intorno sinistro del punto m = 1 la funzione è definita, quindi in tale intorno sinistro non varrebbe f(x) ≥ f(m). Se facciamo anche l’intersezione con il dominio, otteniamo solo l’intorno destro.

Il principio fondamentale della ricerca degli estremi

Torniamo ora al grafico della funzione f(x) = x² + 1 con tre tangenti:

Concentriamoci soprattutto sulla tangente c. Vediamo che la tangente tocca il grafico nel minimo della funzione x² + 1 ed è orizzontale, cioè parallela all’asse x. «Forma» quindi con il semiasse positivo delle x un angolo di 0 gradi. Cosa succederebbe se capovolgessimo la funzione e al posto del minimo avesse un massimo? Il grafico della funzione −x² + 1:

Notiamo che la tangente c, che passa per il massimo della funzione −x² + 1, è di nuovo parallela all’asse x. Ne ricaviamo una regolarità: se cerchiamo il minimo o il massimo di una funzione, cerchiamo una tangente parallela all’asse x, cioè tale che la tangente dell’angolo che forma con l’asse x sia uguale a zero. Dalla figura precedente si vede che tan(0°) = 0. Nel linguaggio delle derivate cerchiamo quindi un punto in cui la derivata è uguale a zero: f′(x) = 0.

Calcoliamo l’estremo della nostra funzione preferita f(x) = x² + 1 con le derivate. La derivata della funzione f è f′(x) = 2x. Cerchiamo poi dove la derivata prima è uguale a zero, cioè risolviamo l’equazione f′(x) = 0; dopo la sostituzione 2x = 0. Questo vale banalmente per x = 0. Vediamo che ciò concorda con il fatto che la funzione f(x) = x² + 1 ha nel punto x = 0 un minimo assoluto.

Eccezioni alla «regola»

Verrebbe da dire che una funzione ha un estremo nel punto x se e solo se la derivata in quel punto è uguale a zero. Purtroppo non è vero, la cosa non è così semplice. Guardiamo i seguenti esempi:

• Proviamo a trovare gli estremi della funzione f(x) = x³. La derivata prima di questa funzione è f′(x) = 3x². Risolviamo l’equazione f′(x) = 0, cioè 3x² = 0. Evidentemente vale per x = 0. Ma la funzione x³ ha nel punto x = 0 un estremo? Guardiamo il grafico:

  

  Vediamo che nel punto x = 0 non c’è alcun estremo della funzione. Né assoluto, né relativo. Perché allora in questo punto la derivata risulta nulla? Perché in questo punto la tangente t è semplicemente parallela all’asse x, come mostra la figura seguente:

  

• E una funzione carina come f(x) = |x|, cioè il valore assoluto di x? Dal grafico possiamo leggere che nel punto x = 0 ha un minimo assoluto:

  

  Eppure questa funzione nel punto x = 0 non ha la derivata! Nel punto x = 0 la funzione non ha la tangente, perché è difficile dire come potrebbe essere fatta quella tangente.

Vale quindi:

• Se la funzione f ha nel punto x un estremo, cioè un minimo o un massimo, e se in questo punto esiste la derivata (!), allora questa derivata è nulla. Può succedere che la funzione abbia nel punto x un estremo e allo stesso tempo che in quel punto non abbia alcuna derivata.

• Se la funzione f ha nel punto x derivata nulla, allora in questo punto può esserci un estremo, ma può anche non esserci.

Come trovare gli estremi di una funzione

Supponiamo che sia data una funzione f derivabile in tutto il suo dominio. Nel primo passo deriviamo la funzione f e otteniamo la funzione f′. Poi poniamo la derivata prima uguale a zero, cioè risolviamo l’equazione f′(x) = 0. Le soluzioni di questa equazione sono i punti «sospetti» di estremo, ovvero i punti stazionari.

Dobbiamo poi stabilire quali di questi punti stazionari sono estremi. Lo possiamo capire, per esempio, dalla derivata seconda della funzione f. Se s è un punto stazionario, cioè se vale f′(s) = 0, allora se f′′(s) > 0 nel punto s si trova un minimo, mentre se f′′(s) < 0 nel punto s si trova un massimo.

Se anche la derivata seconda in questo punto è nulla, dobbiamo continuare a derivare, ma ne parleremo più avanti. Ora un esempio. Sia data la funzione f(x) = 3x² + 6x. Trova i suoi estremi.

Calcoliamo la derivata prima: f′(x) = 6x + 6. Poniamo la derivata prima uguale a zero:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Nel punto x = −1 si trova quindi un punto stazionario, un punto sospetto di estremo. Calcoliamo la derivata seconda. È uguale alla funzione f′′(x) = 0x + 6. Sostituendo il punto x = −1 otteniamo f′′(−1) = 6. Il risultato è positivo, la funzione ha nel punto dato un minimo. Il grafico:

E se anche la derivata seconda è nulla?

Proviamo a trovare l’estremo della funzione f(x) = x⁴, grafico:

La derivata prima di questa funzione è f′(x) = 4x³. La soluzione dell’equazione f′(x) = 0 è ovviamente l’unico punto stazionario s = 0. Calcoliamo la derivata seconda, che è uguale a f′′(x) = 12x². Sostituiamo in questa derivata seconda il punto stazionario s e otteniamo

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Abbiamo ottenuto zero e, secondo quanto abbiamo detto finora, non possiamo capire se nel punto ci sia un estremo oppure no. Ma noi vediamo che nel punto l’estremo c’è. Se si verifica questa situazione, continuiamo a derivare. Troviamo la derivata terza e sostituiamo il punto stazionario s. Se risulta un numero diverso da zero, nel punto s c’è un cosiddetto punto di flesso (ne parleremo più avanti). Se risulta zero, continuiamo a derivare. Per la derivata quarta decidiamo come per la seconda – sostituiamo il punto stazionario e un valore positivo significa che lì c’è un minimo, uno negativo che lì c’è un massimo.

La derivata terza è uguale a f′′′(x) = 24x, dopo la sostituzione abbiamo f′′′(0) = 0, quindi continuiamo a derivare. La derivata quarta ha la forma f′′′′(x) = 24. Vediamo che la derivata quarta è ormai sempre positiva, da cui possiamo dedurre – come per la derivata seconda – che la funzione ha nel punto s = 0 un minimo. E infatti ce l’ha.

Riepilogo del procedimento per trovare gli estremi di una funzione

1. Abbiamo una funzione f derivabile.

2. Deriviamo la funzione f.

3. Risolviamo l’equazione f′(x) = 0. Ogni valore s che risolve l’equazione lo chiamiamo punto stazionario, ovvero punto sospetto di estremo.

4. Calcoliamo la derivata seconda.

5. Calcoliamo il valore della derivata seconda in tutti i punti stazionari s. Se f′′(s) > 0, la funzione ha nel punto s un minimo, se f′′(s) < 0, nel punto s c’è un massimo. Se f′′(s) = 0, continuiamo a derivare.

   Consiglio: se non ti va di ricordare se la derivata seconda debba essere positiva o negativa perché nel punto ci sia un massimo o un minimo, ricavalo semplicemente, per esempio, dalla funzione x². Dovresti conoscere il grafico di questa funzione e la derivata prima e seconda sono semplici: f′(x) = 2x e f′′(x) = 2. La derivata seconda è quindi sempre positiva e la funzione x² ha nel punto x = 0 un minimo.

6. Calcoliamo la derivata terza. Se f′′′(s) ≠ 0, nel punto s c’è un punto di flesso, altrimenti continuiamo a derivare.

7. Calcoliamo la derivata quarta. Se f′′′′(s) ≠ 0, nel punto c’è un estremo. Altrimenti continuiamo a derivare.

8. E così via. Se la prima derivata non nulla è di ordine dispari, si tratta di un punto di flesso. Se la prima derivata non nulla è di ordine pari, si tratta di un estremo.