Kurvundersökning: extremvärden

Funktionens extremvärden är de punkter där funktionen antar sina största eller minsta värden.

Funktionens extremvärden

Vi skiljer mellan två grundläggande typer av extremvärden — minimum och maximum. Vi skiljer vidare mellan globalt maximum/minimum och lokalt maximum/minimum. Ett globalt maximum är en punkt där funktionen har det största värdet av alla punkter i definitionsmängden. Om det värdet bara antas i en enda punkt säger vi att det är ett strikt maximum. Funktionen kan nämligen ha sitt högsta värde i flera punkter, ungefär som två olika anställda kan ha den högsta lönen, 400 000 kronor i månaden. Definitionerna av minimum och maximum finns i artikeln om funktioner.

Ett lokalt minimum definierar vi bara på en del av funktionens definitionsmängd, vanligen i något intervall. Definition av lokalt maximum och minimum:

• Funktionen f har ett lokalt maximum i punkten M ∈ D_f om det finns någon omgivning U = ]M − ϵ, M + ϵ[, där ϵ > 0, sådan att f(x) ≤ f(M) gäller för alla x ∈ U ∩ D_f.
• Funktionen f har ett lokalt minimum i punkten m ∈ D_f om det finns någon omgivning U = ]m − ϵ, m + ϵ[, där ϵ > 0, sådan att f(x) ≥ f(m) gäller för alla x ∈ U ∩ D_f.

Ett exempel på en funktion som har oändligt många extremvärden är funktionen f(x) = x · sin x:

Och varför står det i definitionen ”för alla x ∈ U ∩ D_f”, alltså varför finns snittet med definitionsmängden där? Till exempel därför att funktionen som ges av den här grafen…

…har ett minimum i punkten m = 1, men i varje vänsteromgivning av punkten m = 1 är funktionen inte definierad, så i den vänstra omgivningen skulle det inte gälla att f(x) ≥ f(m). Om vi också tar snittet med definitionsmängden får vi bara den högra omgivningen.

Grundprincipen för att hitta extremvärden

Nu återvänder vi till grafen till funktionen f(x) = x² + 1 tillsammans med tre tangenter:

Vi koncentrerar oss främst på tangenten c. Vi ser att tangenten tangerar grafen i minimipunkten för funktionen x² + 1 och är vågrät, alltså parallell med x-axeln. Den ”bildar” därmed vinkeln 0° med den positiva x-axeln. Vad skulle hända om vi vände på funktionen så att den i stället för ett minimum hade ett maximum? Grafen till funktionen −x² + 1:

Lägg märke till att tangenten c, som går genom maximipunkten för funktionen −x² + 1, åter är parallell med x-axeln. Av det får vi en regel: när vi söker minimum eller maximum hos en funktion söker vi en tangent som är parallell med x-axeln, alltså en tangent där tangens för vinkeln mot x-axeln är lika med noll. Av den föregående figuren kan vi se att tan(0°) = 0. Med derivator söker vi alltså en punkt där derivatan är lika med noll: f′(x) = 0.

Vi beräknar extremvärdet hos vår favoritfunktion f(x) = x² + 1 med hjälp av derivator. Derivatan av funktionen f är f′(x) = 2x. Vidare söker vi när första derivatan är lika med noll, alltså löser vi ekvationen f′(x) = 0; efter insättning 2x = 0. Det gäller trivialt för x = 0. Vi ser att det stämmer med att funktionen f(x) = x² + 1 har ett globalt minimum i punkten x = 0.

Undantag från ”regeln”

Man skulle vilja säga att funktionen har ett extremvärde i punkten x om och endast om derivatan i den punkten är lika med noll. Det är tyvärr inte sant, så enkelt är det inte. Titta på följande exempel:

• Vi försöker bestämma extremvärdena hos funktionen f(x) = x³. Första derivatan av den här funktionen är f′(x) = 3x². Vi löser ekvationen f′(x) = 0, alltså 3x² = 0. Den gäller uppenbarligen för x = 0. Men har funktionen x³ något extremvärde i punkten x = 0? Titta på grafen:

  

  Vi ser att det inte finns något extremvärde i punkten x = 0. Varken globalt eller lokalt. Varför blir då derivatan noll i den här punkten? Därför att tangenten t helt enkelt är parallell med x-axeln i den här punkten, se följande figur:

  

• Vad sägs om den trevliga funktionen f(x) = |x|, alltså absolutbeloppet av x? Av grafen kan vi utläsa att den har ett globalt minimum i punkten x = 0:

  

  Men den här funktionen har ingen derivata i punkten x = 0! I punkten x = 0 har funktionen ingen tangent, eftersom det är svårt att säga hur den tangenten skulle se ut.

Alltså gäller följande:

• Om funktionen f har ett extremvärde, alltså ett minimum eller ett maximum, i punkten x, och om det finns en derivata (!) i den här punkten, så är den derivatan noll. Det kan hända att funktionen har ett extremvärde i punkten x och samtidigt inte har någon derivata i den punkten.

• Om funktionen f har derivatan noll i punkten x, så kan det finnas ett extremvärde i den punkten, men det behöver inte finnas.

Så hittar du funktionens extremvärden

Vi antar att vi har en funktion f som är deriverbar i hela sin definitionsmängd. I första steget deriverar vi alltså funktionen f, och får därmed funktionen f′. Därefter sätter vi första derivatan lika med noll, alltså löser vi ekvationen f′(x) = 0. Lösningarna till den här ekvationen är de punkter som är ”misstänkta” för extremvärde, eller stationära punkter.

Sedan måste vi avgöra vilka av de stationära punkterna som är extremvärden. Det kan vi till exempel ta reda på med andraderivatan av funktionen f. Om s är en stationär punkt, alltså om f′(s) = 0, så gäller att om f′′(s) > 0 finns ett minimum i punkten s, medan om f′′(s) < 0 finns ett maximum i punkten s.

Om också andraderivatan i punkten är noll måste vi fortsätta att derivera, mer om det senare. Nu ett exempel. Vi har funktionen f(x) = 3x² + 6x. Bestäm dess extremvärden.

Vi beräknar första derivatan: f′(x) = 6x + 6. Vi sätter första derivatan lika med noll:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Punkten x = −1 är alltså en stationär punkt, en punkt som är misstänkt för extremvärde. Vi beräknar andraderivatan. Den är lika med funktionen f′′(x) = 0x + 6. Efter insättning av punkten x = −1 får vi f′′(−1) = 6. Resultatet är positivt, funktionen har ett minimum i den givna punkten. Grafen:

Vad händer om också andraderivatan är noll?

Vi försöker hitta extremvärdet hos funktionen f(x) = x⁴, graf:

Första derivatan av den här funktionen är f′(x) = 4x³. Lösningen till ekvationen f′(x) = 0 är förstås den enda stationära punkten s = 0. Vi beräknar andraderivatan, som är lika med f′′(x) = 12x². I den här andraderivatan sätter vi in den stationära punkten s, så vi får

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Vi fick noll, och av det vi hittills har sagt kan vi alltså inte avgöra om det finns ett extremvärde i punkten eller inte. Men vi ser att det finns ett extremvärde i punkten. När den här situationen uppstår deriverar vi vidare. Vi bestämmer tredje derivatan och sätter in den stationära punkten s. Om det blir ett tal som inte är noll är punkten s en så kallad inflexionspunkt (mer om det senare). Om det blir noll deriverar vi vidare. Vid fjärde derivatan avgör vi på samma sätt som vid andra — vi sätter in den stationära punkten, och ett positivt funktionsvärde betyder att där finns ett minimum, ett negativt att där finns ett maximum.

Tredje derivatan är lika med f′′′(x) = 24x, efter insättning har vi f′′′(0) = 0, så vi deriverar vidare. Fjärde derivatan har formen f′′′′(x) = 24. Vi ser att fjärde derivatan redan alltid är positiv, varav vi — på samma sätt som vid andra derivatan — kan dra slutsatsen att funktionen har ett minimum i punkten s = 0. Och det har den också.

Sammanfattning av tillvägagångssättet för att hitta funktionens extremvärden

1. Vi har en given funktion f som är deriverbar.

2. Vi deriverar funktionen f.

3. Vi löser ekvationen f′(x) = 0. Alla s som är lösningar till ekvationen kallar vi stationära punkter, eller punkter som är misstänkta för extremvärde.

4. Vi beräknar andraderivatan.

5. Vi beräknar värdet av andraderivatan i alla stationära punkter s. Om f′′(s) > 0 har funktionen ett minimum i punkten s, om f′′(s) < 0 finns ett maximum i punkten s. Om f′′(s) = 0 deriverar vi vidare.

   Tips: om du inte orkar komma ihåg om andraderivatan måste vara positiv eller negativ för att det ska finnas ett maximum eller minimum i punkten, härled det helt enkelt till exempel ur funktionen x². Grafen till den här funktionen bör du känna till, och både första och andra derivatan är enkla: f′(x) = 2x och f′′(x) = 2. Andraderivatan är alltså alltid positiv och funktionen x² har ett minimum i punkten x = 0.

6. Vi beräknar tredje derivatan. Om f′′′(s) ≠ 0 är s en inflexionspunkt, i annat fall deriverar vi vidare.

7. Vi beräknar fjärde derivatan. Om f′′′′(s) ≠ 0 finns ett extremvärde i punkten. Annars deriverar vi vidare.

8. Och så vidare. Om den första derivatan som inte är noll är en udda derivata är det en inflexionspunkt. Om den första derivatan som inte är noll är jämn är det ett extremvärde.