Μελέτη συνάρτησης: ακρότατα

Τα ακρότατα μιας συνάρτησης είναι τα σημεία στα οποία η συνάρτηση παίρνει τις μέγιστες ή τις ελάχιστες τιμές της.

Ακρότατα συνάρτησης

Διακρίνουμε δύο βασικούς τύπους ακροτάτων – ελάχιστο και μέγιστο. Επιπλέον διακρίνουμε ολικό μέγιστο/ελάχιστο και τοπικό μέγιστο/ελάχιστο. Ολικό μέγιστο είναι το σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή από όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού. Αν αυτή η τιμή είναι μοναδική, λέμε ότι πρόκειται για γνήσιο μέγιστο. Η συνάρτηση μπορεί να έχει τη μεγαλύτερη τιμή σε περισσότερα σημεία, όπως για παράδειγμα δύο διαφορετικοί υπάλληλοι μπορεί να παίρνουν την ίδια ανώτατη μηνιαία αμοιβή, 20.000 €. Οι ορισμοί του ελαχίστου και του μεγίστου υπάρχουν στο άρθρο για τις συναρτήσεις.

Το τοπικό ελάχιστο ορίζεται μόνο σε ένα μέρος του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, συνήθως σε κάποιο διάστημα. Ορισμοί του τοπικού μεγίστου και ελαχίστου:

• Η συνάρτηση f έχει στο σημείο M ∈ D_f τοπικό μέγιστο, αν υπάρχει κάποια περιοχή U = (M − ϵ, M + ϵ), όπου ϵ > 0, τέτοια ώστε για κάθε x ∈ U ∩ D_f να ισχύει f(x) ≤ f(M).
• Η συνάρτηση f έχει στο σημείο m ∈ D_f τοπικό ελάχιστο, αν υπάρχει κάποια περιοχή U = (m − ϵ, m + ϵ), όπου ϵ > 0, τέτοια ώστε για κάθε x ∈ U ∩ D_f να ισχύει f(x) ≥ f(m).

Παράδειγμα συνάρτησης που έχει άπειρα ακρότατα είναι η συνάρτηση f(x) = x · ημ x:

Και γιατί στον ορισμό υπάρχει το «για κάθε x ∈ U ∩ D_f», δηλαδή γιατί υπάρχει εκεί η τομή με το πεδίο ορισμού; Για παράδειγμα επειδή η συνάρτηση που δίνει αυτή η γραφική παράσταση…

…έχει στο σημείο m = 1 ελάχιστο, αλλά σε καμία αριστερή περιοχή του σημείου m = 1 δεν ορίζεται η συνάρτηση, οπότε σε αυτή την αριστερή περιοχή δεν θα ίσχυε f(x) ≥ f(m). Αν κάνουμε και την τομή με το πεδίο ορισμού, παίρνουμε μόνο τη δεξιά περιοχή.

Βασική αρχή για την εύρεση ακροτάτων

Ας επιστρέψουμε τώρα στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x² + 1 μαζί με τρεις εφαπτομένες:

Εστιάζουμε κυρίως στην εφαπτομένη c. Βλέπουμε ότι η εφαπτομένη εφάπτεται της γραφικής παράστασης στο ελάχιστο της συνάρτησης x² + 1 και είναι οριζόντια, δηλαδή παράλληλη προς τον άξονα x'x. «Σχηματίζει» έτσι με τον θετικό ημιάξονα Ox γωνία 0 μοιρών. Τι θα γινόταν, αν αναστρέφαμε τη συνάρτηση και αντί για ελάχιστο είχε μέγιστο; Γραφική παράσταση της συνάρτησης −x² + 1:

Παρατήρησε ότι η εφαπτομένη c, που περνά από το μέγιστο της συνάρτησης −x² + 1, είναι πάλι παράλληλη προς τον άξονα x'x. Από αυτό προκύπτει μια νομοτέλεια: αν ψάχνουμε ελάχιστο ή μέγιστο της συνάρτησης, ψάχνουμε εφαπτομένη που είναι παράλληλη προς τον άξονα x'x, δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα x'x είναι ίση με μηδέν. Από την προηγούμενη εικόνα φαίνεται ότι εφ(0°) = 0. Στο πλαίσιο των παραγώγων ψάχνουμε λοιπόν σημείο για το οποίο η παράγωγός του είναι ίση με μηδέν: f′(x) = 0.

Ας υπολογίσουμε το ακρότατο της αγαπημένης μας συνάρτησης f(x) = x² + 1 με τη βοήθεια των παραγώγων. Η παράγωγος της συνάρτησης f είναι f′(x) = 2x. Στη συνέχεια ψάχνουμε πότε η πρώτη παράγωγος είναι ίση με μηδέν, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f′(x) = 0. Μετά την αντικατάσταση έχουμε 2x = 0. Αυτό ισχύει προφανώς για x = 0. Βλέπουμε ότι συμφωνεί με το γεγονός ότι η συνάρτηση f(x) = x² + 1 έχει στο σημείο x = 0 ολικό ελάχιστο.

Εξαιρέσεις από τον «κανόνα»

Θα ήθελε κανείς να πει ότι η συνάρτηση έχει στο σημείο x ακρότατο ακριβώς τότε, όταν η παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν. Δυστυχώς αυτό δεν ισχύει, δεν είναι τόσο απλό. Ας δούμε τα επόμενα παραδείγματα:

• Θα προσπαθήσουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x³. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι f′(x) = 3x². Λύνουμε την εξίσωση f′(x) = 0, δηλαδή 3x² = 0. Αυτό προφανώς ισχύει για x = 0. Έχει όμως στο σημείο x = 0 η συνάρτηση x³ κάποιο ακρότατο; Ας δούμε τη γραφική παράσταση:

  

  Βλέπουμε ότι στο σημείο x = 0 δεν υπάρχει κανένα ακρότατο της συνάρτησης. Ούτε ολικό ούτε τοπικό. Γιατί λοιπόν μας βγαίνει σε αυτό το σημείο μηδενική παράγωγος; Επειδή απλώς σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη t είναι παράλληλη προς τον άξονα x'x, δες την επόμενη εικόνα:

  

• Τι θα έλεγες για τη συνάρτηση f(x) = |x|, δηλαδή την απόλυτη τιμή του x; Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι έχει στο σημείο x = 0 ολικό ελάχιστο:

  

  Αυτή η συνάρτηση όμως δεν έχει στο σημείο x = 0 παράγωγο! Στο σημείο x = 0 η συνάρτηση δεν έχει εφαπτομένη, γιατί δύσκολα θα μπορούσε να πει κανείς πώς θα έμοιαζε αυτή η εφαπτομένη.

Ισχύει λοιπόν:

• Αν η συνάρτηση f έχει στο σημείο x ακρότατο, δηλαδή ελάχιστο ή μέγιστο, και αν σε αυτό το σημείο υπάρχει παράγωγος (!), τότε αυτή η παράγωγος είναι μηδέν. Μπορεί να συμβεί η συνάρτηση να έχει στο σημείο x ακρότατο και ταυτόχρονα σε αυτό το σημείο να μην έχει καμία παράγωγο.

• Αν η συνάρτηση f έχει στο σημείο x μηδενική παράγωγο, τότε σε αυτό το σημείο μπορεί να υπάρχει ακρότατο, αλλά μπορεί και να μην υπάρχει.

Πώς να βρεις τα ακρότατα μιας συνάρτησης

Θα υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Στο πρώτο βήμα παραγωγίζουμε τη συνάρτηση f και παίρνουμε τη συνάρτηση f′. Στη συνέχεια θέτουμε την πρώτη παράγωγο ίση με μηδέν, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f′(x) = 0. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι τα σημεία που είναι «ύποπτα» για ακρότατο, δηλαδή τα κρίσιμα σημεία.

Στη συνέχεια πρέπει να καθορίσουμε ποια από τα κρίσιμα σημεία είναι ακρότατα. Αυτό το βρίσκουμε για παράδειγμα από τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f. Αν το s είναι κρίσιμο σημείο, δηλαδή αν ισχύει f′(s) = 0, τότε αν f′′(s) > 0, στο σημείο s υπάρχει ελάχιστο, ενώ αν f′′(s) < 0, στο σημείο s υπάρχει μέγιστο.

Αν και η δεύτερη παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι μηδέν, πρέπει να συνεχίσουμε να παραγωγίζουμε, γι' αυτό θα μιλήσουμε αργότερα. Τώρα ένα παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση f(x) = 3x² + 6x. Βρες τα ακρότατά της.

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο: f′(x) = 6x + 6. Θέτουμε την πρώτη παράγωγο ίση με μηδέν:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Το x = −1 είναι λοιπόν κρίσιμο σημείο, δηλαδή σημείο ύποπτο για ακρότατο. Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο. Είναι ίση με τη συνάρτηση f′′(x) = 0x + 6. Μετά την αντικατάσταση του σημείου x = −1 παίρνουμε f′′(−1) = 6. Το αποτέλεσμα είναι θετικό, η συνάρτηση έχει στο σημείο αυτό ελάχιστο. Γραφική παράσταση:

Τι γίνεται αν και η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν;

Ας δοκιμάσουμε να βρούμε το ακρότατο της συνάρτησης f(x) = x⁴, γραφική παράσταση:

Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι f′(x) = 4x³. Λύση της εξίσωσης f′(x) = 0 είναι, όπως αναμένεται, το μοναδικό κρίσιμο σημείο s = 0. Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο, που είναι ίση με f′′(x) = 12x². Στη δεύτερη αυτή παράγωγο αντικαθιστούμε το κρίσιμο σημείο s, οπότε παίρνουμε

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Πήραμε μηδέν και με όσα έχουμε πει μέχρι τώρα δεν μπορούμε να καταλάβουμε αν στο σημείο υπάρχει ακρότατο ή όχι. Εμείς όμως βλέπουμε ότι στο σημείο υπάρχει ακρότατο. Όταν συμβεί αυτό, παραγωγίζουμε ξανά. Βρίσκουμε την τρίτη παράγωγο και αντικαθιστούμε το κρίσιμο σημείο s. Αν προκύψει μη μηδενικός αριθμός, στο σημείο s υπάρχει το λεγόμενο σημείο καμπής (γι' αυτό αργότερα). Αν προκύψει μηδέν, παραγωγίζουμε ξανά. Στην τέταρτη παράγωγο αποφασίζουμε όπως στη δεύτερη – αντικαθιστούμε το κρίσιμο σημείο και θετική τιμή της συνάρτησης σημαίνει ότι εκεί υπάρχει ελάχιστο, αρνητική ότι υπάρχει μέγιστο.

Η τρίτη παράγωγος είναι ίση με f′′′(x) = 24x, μετά την αντικατάσταση έχουμε f′′′(0) = 0, οπότε παραγωγίζουμε ξανά. Η τέταρτη παράγωγος έχει τη μορφή f′′′′(x) = 24. Βλέπουμε ότι η τέταρτη παράγωγος είναι πια πάντα θετική, από όπου μπορούμε – όπως στη δεύτερη παράγωγο – να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση έχει στο σημείο s = 0 ελάχιστο. Και πράγματι έχει.

Σύνοψη της διαδικασίας εύρεσης ακροτάτων μιας συνάρτησης

1. Έχουμε μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη.

2. Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση f.

3. Λύνουμε την εξίσωση f′(x) = 0. Όλα τα s που είναι λύσεις της εξίσωσης τα ονομάζουμε κρίσιμα σημεία, δηλαδή σημεία ύποπτα για ακρότατο.

4. Υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο.

5. Υπολογίζουμε την τιμή της δεύτερης παραγώγου σε όλα τα κρίσιμα σημεία s. Αν f′′(s) > 0, η συνάρτηση έχει στο σημείο s ελάχιστο, αν f′′(s) < 0, τότε στο σημείο s υπάρχει μέγιστο. Αν f′′(s) = 0, τότε παραγωγίζουμε ξανά.

   Συμβουλή: αν δεν θέλεις να θυμάσαι αν η δεύτερη παράγωγος πρέπει να είναι θετική ή αρνητική, για να υπάρχει στο σημείο μέγιστο ή ελάχιστο, απλώς βρες το π.χ. από τη συνάρτηση x². Τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης πρέπει να τη γνωρίζεις και η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος είναι απλές: f′(x) = 2x και f′′(x) = 2. Η δεύτερη παράγωγος είναι έτσι πάντα θετική και η συνάρτηση x² έχει στο σημείο x = 0 ελάχιστο.

6. Υπολογίζουμε την τρίτη παράγωγο. Αν f′′′(s) ≠ 0, τότε στο σημείο s υπάρχει σημείο καμπής, διαφορετικά παραγωγίζουμε ξανά.

7. Υπολογίζουμε την τέταρτη παράγωγο. Αν f′′′′(s) ≠ 0, τότε στο σημείο υπάρχει ακρότατο. Διαφορετικά παραγωγίζουμε ξανά.

8. Και ούτω καθεξής. Αν η πρώτη μη μηδενική παράγωγος είναι περιττής τάξης, πρόκειται για σημείο καμπής. Αν η πρώτη μη μηδενική παράγωγος είναι άρτιας τάξης, πρόκειται για ακρότατο.