Estudo do gráfico: extremos

Os extremos de uma função são os pontos em que a função assume seus valores máximos ou mínimos.

Extremos de uma função

Distinguimos dois tipos básicos de extremos — o mínimo e o máximo. Além disso, distinguimos o máximo/mínimo absoluto e o máximo/mínimo local. O máximo absoluto é o ponto em que a função tem o maior valor entre todos os pontos do domínio. Se esse valor é único, dizemos que se trata de um máximo estrito. A função pode, afinal, ter o valor mais alto em mais de um ponto, assim como, por exemplo, dois funcionários diferentes podem receber o maior salário, R$ 80.000 por mês. As definições de mínimo e máximo estão apresentadas no artigo sobre funções.

Definimos o mínimo local, por sua vez, apenas em uma parte do domínio da função, tipicamente em algum intervalo. Definição de máximo e mínimo local:

• A função f tem no ponto M ∈ D(f) um máximo local se existe alguma vizinhança U = ]M − ϵ, M + ϵ[, com ϵ > 0, tal que, para todos os x ∈ U ∩ D(f), vale f(x) ≤ f(M).
• A função f tem no ponto m ∈ D(f) um mínimo local se existe alguma vizinhança U = ]m − ϵ, m + ϵ[, com ϵ > 0, tal que, para todos os x ∈ U ∩ D(f), vale f(x) ≥ f(m).

Um exemplo de função que tem infinitos extremos é a função f(x) = x · sen x:

E por que na definição está “para todos os x ∈ U ∩ D(f)”, isto é, por que ali está aquela interseção com o domínio? Por exemplo, porque a função dada por este gráfico…

…tem no ponto m = 1 um mínimo, mas, ao mesmo tempo, em qualquer vizinhança à esquerda do ponto m = 1 a função não está definida, de modo que nessa vizinhança à esquerda não valeria que f(x) ≥ f(m). Se fizermos ainda a interseção com o domínio, obtemos apenas a vizinhança à direita.

Princípio básico da busca de extremos

Agora voltemos ao gráfico da função f(x) = x² + 1 juntamente com três retas tangentes:

Vamos nos concentrar sobretudo na tangente c. Vemos que a tangente toca o gráfico no mínimo da função x² + 1 e é horizontal, isto é, paralela ao eixo x. Ela “forma”, portanto, com o semieixo positivo x um ângulo de 0°. O que aconteceria se invertêssemos a função e, em vez do mínimo, a função tivesse um máximo? Gráfico da função −x² + 1:

Observe que a tangente c, que passa pelo máximo da função −x² + 1, é novamente paralela ao eixo x. Disso surge uma regularidade: se procuramos o mínimo ou o máximo de uma função, procuramos uma reta tangente que seja paralela ao eixo x, cuja tangente do ângulo que forma com o eixo x seja igual a zero. Pela figura anterior, podemos ver que tg(0°) = 0. No contexto das derivadas, procuramos, portanto, um ponto para o qual vale que sua derivada é igual a zero: f′(x) = 0.

Vamos calcular o extremo da nossa querida função f(x) = x² + 1 por meio das derivadas. A derivada da função f é f′(x) = 2x. Em seguida procuramos quando a primeira derivada é igual a zero, isto é, resolvemos a equação f′(x) = 0; após a substituição, 2x = 0. Isso vale trivialmente para x = 0. Vemos que isso concorda com o fato de que a função f(x) = x² + 1 tem no ponto x = 0 um mínimo absoluto.

Exceções à “regra”

Daria vontade de dizer que a função tem em um ponto x um extremo se, e somente se, a derivada nesse ponto é igual a zero. Isso, infelizmente, não é verdade; não é tão simples assim. Vejamos os exemplos seguintes:

• Vamos tentar descobrir os extremos da função f(x) = x³. A primeira derivada dessa função é f′(x) = 3x². Resolvemos a equação f′(x) = 0, isto é, 3x² = 0. Isso evidentemente vale para x = 0. Mas a função x³ tem algum extremo no ponto x = 0? Vejamos o gráfico:

  

  Vemos que no ponto x = 0 não ocorre nenhum extremo da função. Nem absoluto, nem local. Por que, então, obtemos nesse ponto a derivada nula? Porque, nesse ponto, a reta tangente t é simplesmente paralela ao eixo x, veja a figura seguinte:

  

• E a simpática função f(x) = |x|, isto é, o valor absoluto de x? Pelo gráfico podemos ver que ela tem no ponto x = 0 um mínimo absoluto:

  

  Só que essa função não tem derivada no ponto x = 0! No ponto x = 0 a função não tem reta tangente, porque é difícil dizer como essa reta tangente poderia ser.

Vale, assim:

• Se a função f tem em um ponto x um extremo, isto é, um mínimo ou um máximo, e se nesse ponto existe a derivada (!), então essa derivada é nula. Pode acontecer que a função tenha em um ponto x um extremo e, ao mesmo tempo, que no ponto dado a função não tenha nenhuma derivada.

• Se a função f tem em um ponto x derivada nula, então nesse ponto pode haver um extremo, mas também pode não haver.

Como encontrar os extremos de uma função

Vamos supor que temos como entrada uma função f que é derivável em todo o seu domínio. No primeiro passo, portanto, derivamos a função f, obtendo a função f′. Em seguida igualamos a primeira derivada a zero, isto é, resolvemos a equação f′(x) = 0. As soluções dessa equação são os pontos “candidatos a extremo”, ou seja, os pontos críticos (ou estacionários).

Depois precisamos determinar quais desses pontos críticos são extremos. Descobrimos isso, por exemplo, pela segunda derivada da função f. Se s é um ponto crítico, isto é, se vale f′(s) = 0, então, se f′′(s) > 0, no ponto s há um mínimo, enquanto, se f′′(s) < 0, no ponto s há um máximo.

Se a segunda derivada também for nula nesse ponto, precisamos continuar derivando (falaremos disso mais adiante). Agora um exemplo. Tomemos a função f(x) = 3x² + 6x. Encontre os seus extremos.

Calculamos a primeira derivada: f′(x) = 6x + 6. Igualamos a primeira derivada a zero:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

No ponto x = −1 há, portanto, um ponto crítico; um ponto candidato a extremo. Calculamos a segunda derivada. Ela é igual à função f′′(x) = 0x + 6. Após substituir o ponto x = −1, obtemos f′′(−1) = 6. O resultado é positivo, e a função tem no ponto dado um mínimo. Gráfico:

E se a segunda derivada também for nula?

Vamos tentar encontrar o extremo da função f(x) = x⁴, gráfico:

A primeira derivada dessa função é f′(x) = 4x³. A solução da equação f′(x) = 0 é, naturalmente, um único ponto crítico s = 0. Calculamos a segunda derivada, que é igual a f′′(x) = 12x². Substituímos o ponto crítico s nessa segunda derivada e obtemos

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Obtivemos zero e, pelo que apresentamos até agora, não conseguimos saber se no ponto há ou não um extremo. Mas nós vemos que no ponto há um extremo. Se ocorre essa situação, derivamos mais. Encontramos a terceira derivada e substituímos o ponto crítico s. Se resultar um número diferente de zero, no ponto s há o chamado ponto de inflexão (sobre isso mais adiante). Se resultar zero, derivamos mais. Na quarta derivada decidimos como na segunda — substituímos o ponto crítico, e um valor positivo da função significa que ali há um mínimo, e um negativo, que ali há um máximo.

A terceira derivada é igual a f′′′(x) = 24x, e após a substituição temos f′′′(0) = 0, então derivamos mais. A quarta derivada tem a forma f′′′′(x) = 24. Vemos que a quarta derivada já é sempre positiva, do que podemos — como na segunda derivada — deduzir que a função tem no ponto s = 0 um mínimo. E realmente tem.

Resumo do procedimento para encontrar os extremos de uma função

1. É dada uma função f derivável.

2. Derivamos a função f.

3. Resolvemos a equação f′(x) = 0. Chamamos todos os s que são solução da equação de pontos críticos, ou seja, pontos candidatos a extremo.

4. Calculamos a segunda derivada.

5. Calculamos o valor da segunda derivada em todos os pontos críticos s. Se f′′(s) > 0, a função tem no ponto s um mínimo; se f′′(s) < 0, então no ponto s há um máximo. Se f′′(s) = 0, então derivamos mais.

   Dica: se você não quer decorar se a segunda derivada deve ser positiva ou negativa para que no ponto haja um máximo ou um mínimo, simplesmente deduza isso, por exemplo, da função x². Você deve conhecer o gráfico dessa função, e tanto a primeira quanto a segunda derivada são simples: f′(x) = 2x e f′′(x) = 2. A segunda derivada é, assim, sempre positiva, e a função x² tem no ponto x = 0 um mínimo.

6. Calculamos a terceira derivada. Se f′′′(s) ≠ 0, então no ponto s há um ponto de inflexão; caso contrário, derivamos mais.

7. Calculamos a quarta derivada. Se f′′′′(s) ≠ 0, então no ponto há um extremo. Caso contrário, derivamos mais.

8. E assim por diante. Se a primeira derivada não nula for uma derivada de ordem ímpar, trata-se de um ponto de inflexão. Se a derivada não nula for de ordem par, trata-se de um extremo.