Drøfting av funksjon: ekstremalpunkter

Ekstremalpunkter til en funksjon er punktene der funksjonen tar sine største eller minste verdier.

Ekstremalpunkter til en funksjon

Vi skiller mellom to grunnleggende typer ekstremalpunkter: minimum og maksimum. Videre skiller vi mellom globalt maksimum/minimum og lokalt maksimum/minimum. Globalt maksimum er et punkt der funksjonen har den største verdien av alle punkter i definisjonsmengden. Hvis funksjonen har denne verdien i bare ett punkt, sier vi at det er et strengt maksimum. En funksjon kan nemlig ha den høyeste verdien i flere punkter, på samme måte som for eksempel to ulike ansatte kan ha den høyeste lønnen på 150 000 kroner i måneden. Definisjonene av minimum og maksimum står i artikkelen om funksjoner.

Lokalt minimum definerer vi bare på en del av definisjonsmengden til funksjonen, typisk på et intervall. Definisjon av lokalt maksimum og minimum:

• Funksjonen f har lokalt maksimum i punktet M ∈ D_f hvis det finnes en omegn U = ⟨M − ϵ, M + ϵ⟩, der ϵ > 0, slik at f(x) ≤ f(M) for alle x ∈ U ∩ D_f.
• Funksjonen f har lokalt minimum i punktet m ∈ D_f hvis det finnes en omegn U = ⟨m − ϵ, m + ϵ⟩, der ϵ > 0, slik at f(x) ≥ f(m) for alle x ∈ U ∩ D_f.

Et eksempel på en funksjon som har uendelig mange ekstremalpunkter, er funksjonen f(x) = x · sin x:

Og hvorfor står det «for alle x ∈ U ∩ D_f» i definisjonen, altså hvorfor er det der et snitt med definisjonsmengden? For eksempel fordi funksjonen gitt ved denne grafen …

… har minimum i punktet m = 1, men i en hvilken som helst venstre omegn av punktet m = 1 er funksjonen ikke definert, så i denne venstre omegnen ville det ikke gjelde at f(x) ≥ f(m). Hvis vi også tar snittet med definisjonsmengden, får vi bare den høyre omegnen.

Det grunnleggende prinsippet for å finne ekstremalpunkter

La oss nå gå tilbake til grafen til funksjonen f(x) = x² + 1 sammen med tre tangenter:

Vi konsentrerer oss først og fremst om tangenten c. Vi ser at tangenten berører grafen i minimumet til funksjonen x² + 1 og er vannrett, altså parallell med x-aksen. Den «danner» dermed en vinkel på 0° med den positive delen av x-aksen. Hva ville skje hvis vi snudde funksjonen, slik at den i stedet for minimum hadde maksimum? Grafen til funksjonen −x² + 1:

Legg merke til at tangenten c, som går gjennom maksimumet til funksjonen −x² + 1, igjen er parallell med x-aksen. Det gir oss en regelmessighet: hvis vi leter etter minimum eller maksimum til en funksjon, leter vi etter en tangent som er parallell med x-aksen, som har tangens til vinkelen den danner med x-aksen lik null. Fra den forrige figuren kan vi se at tan(0°) = 0. I sammenheng med deriverte leter vi altså etter et punkt der den deriverte er lik null: f′(x) = 0.

Vi regner ut ekstremalpunktet til favorittfunksjonen vår f(x) = x² + 1 ved hjelp av deriverte. Den deriverte til funksjonen f er f′(x) = 2x. Videre leter vi etter når den førstederiverte er lik null, altså løser vi likningen f′(x) = 0, og etter innsetting får vi 2x = 0. Det gjelder trivielt for x = 0. Vi ser at det stemmer med at funksjonen f(x) = x² + 1 har globalt minimum i punktet x = 0.

Unntak fra «regelen»

Man skulle ha lyst til å si at en funksjon har et ekstremalpunkt i punktet x hvis og bare hvis den deriverte i dette punktet er lik null. Det stemmer dessverre ikke, så enkelt er det ikke. La oss se på noen eksempler:

• Vi prøver å finne ekstremalpunktene til funksjonen f(x) = x³. Den førstederiverte til denne funksjonen er f′(x) = 3x². Vi løser likningen f′(x) = 0, altså 3x² = 0. Det gjelder tydeligvis for x = 0. Men har funksjonen x³ et ekstremalpunkt i punktet x = 0? Se på grafen:

  

  Vi ser at det ikke finnes noe ekstremalpunkt i punktet x = 0. Verken globalt eller lokalt. Hvorfor blir da den deriverte null i dette punktet? Fordi tangenten t rett og slett er parallell med x-aksen i dette punktet, se neste figur:

  

• Hva med den hyggelige funksjonen f(x) = |x|, altså absoluttverdien av x? Fra grafen kan vi lese at den har globalt minimum i punktet x = 0:

  

  Men denne funksjonen har ingen derivert i punktet x = 0! I punktet x = 0 har funksjonen ingen tangent, for det er vanskelig å si hvordan den tangenten skulle se ut.

Det gjelder altså:

• Hvis funksjonen f har et ekstremalpunkt i punktet x, altså minimum eller maksimum, og hvis den deriverte finnes i dette punktet (!), er denne deriverte null. Det kan hende at funksjonen har et ekstremalpunkt i punktet x og samtidig ikke har noen derivert i det punktet.

• Hvis funksjonen f har den deriverte null i punktet x, kan det være et ekstremalpunkt i dette punktet, men det trenger ikke å være det.

Hvordan finne ekstremalpunkter til en funksjon

Vi antar at vi har en funksjon f som er deriverbar på hele definisjonsmengden. I det første steget deriverer vi funksjonen f, og får dermed funksjonen f′. Videre setter vi den førstederiverte lik null, altså løser vi likningen f′(x) = 0. Løsningene av denne likningen er punktene som er «mistenkt» for å være ekstremalpunkter, eller stasjonære punkter.

Videre må vi bestemme hvilke av disse stasjonære punktene som er ekstremalpunkter. Det finner vi for eksempel ut fra den andrederiverte til funksjonen f. Hvis s er et stasjonært punkt, altså hvis f′(s) = 0, ligger det et minimum i punktet s hvis f′′(s) > 0, mens det ligger et maksimum i punktet s hvis f′′(s) < 0.

Hvis også den andrederiverte i dette punktet er null, må vi fortsette å derivere videre, om det senere. Nå et eksempel. Vi har funksjonen f(x) = 3x² + 6x. Finn ekstremalpunktene til den.

Vi regner ut den førstederiverte: f′(x) = 6x + 6. Vi setter den førstederiverte lik null:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

I punktet x = −1 ligger det altså et stasjonært punkt, et kandidatpunkt for ekstremalpunkt. Vi regner ut den andrederiverte. Den er lik funksjonen f′′(x) = 0x + 6. Når vi setter inn punktet x = −1, får vi f′′(−1) = 6. Resultatet er positivt, så funksjonen har et minimum i dette punktet. Grafen:

Hva hvis også den andrederiverte er null?

Vi prøver å finne ekstremalpunktet til funksjonen f(x) = x⁴, graf:

Den førstederiverte til denne funksjonen er f′(x) = 4x³. Løsningen av likningen f′(x) = 0 er naturligvis det eneste stasjonære punktet s = 0. Vi regner ut den andrederiverte, som er lik f′′(x) = 12x². I denne andrederiverte setter vi inn det stasjonære punktet s, så vi får

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Vi fikk null, og etter det vi har sagt så langt, kan vi ikke avgjøre om det er et ekstremalpunkt i punktet eller ikke. Men vi ser at det er et ekstremalpunkt der. Hvis denne situasjonen oppstår, deriverer vi videre. Vi finner den tredjederiverte og setter inn det stasjonære punktet s. Hvis vi får et tall som ikke er null, er det et såkalt vendepunkt i punktet s (om det senere). Hvis vi får null, deriverer vi videre. Ved den fjerdederiverte avgjør vi på samme måte som ved den andrederiverte: vi setter inn det stasjonære punktet, og en positiv funksjonsverdi betyr at det er et minimum der, en negativ at det er et maksimum.

Den tredjederiverte er lik f′′′(x) = 24x, og etter innsetting har vi f′′′(0) = 0, så vi deriverer videre. Den fjerdederiverte har formen f′′′′(x) = 24. Vi ser at den fjerdederiverte alltid er positiv, og av det kan vi, på samme måte som ved den andrederiverte, slutte at funksjonen har et minimum i punktet s = 0. Og det har den også.

Oppsummering av framgangsmåten for å finne ekstremalpunkter til en funksjon

1. Vi har gitt en funksjon f som er deriverbar.

2. Vi deriverer funksjonen f.

3. Vi løser likningen f′(x) = 0. Alle s som er løsninger av likningen, kaller vi stasjonære punkter, eller kandidatpunkter for ekstremalpunkter.

4. Vi regner ut den andrederiverte.

5. Vi regner ut verdien av den andrederiverte i alle stasjonære punkter s. Hvis f′′(s) > 0, har funksjonen et minimum i punktet s, og hvis f′′(s) < 0, er det et maksimum i punktet s. Hvis f′′(s) = 0, deriverer vi videre.

   Tips: hvis du ikke vil huske om den andrederiverte må være positiv eller negativ for at det skal være maksimum eller minimum i punktet, kan du enkelt utlede det for eksempel fra funksjonen x². Grafen til denne funksjonen bør du kunne, og både den førstederiverte og den andrederiverte er enkle: f′(x) = 2x og f′′(x) = 2. Den andrederiverte er dermed alltid positiv, og funksjonen x² har et minimum i punktet x = 0.

6. Vi regner ut den tredjederiverte. Hvis f′′′(s) ≠ 0, er det et vendepunkt i punktet s, ellers deriverer vi videre.

7. Vi regner ut den fjerdederiverte. Hvis f′′′′(s) ≠ 0, ligger det et ekstremalpunkt i punktet. Ellers deriverer vi videre.

8. Og så videre og så videre. Hvis den første deriverte som ikke er null, er en derivert av odde orden, er det et vendepunkt. Hvis den første deriverte som ikke er null, er av like orden, er det et ekstremalpunkt.