Kurvendiskussion: Extrema

Extrema einer Funktion sind Stellen, an denen die Funktion ihre größten oder kleinsten Werte annimmt.

Extrema einer Funktion

Wir unterscheiden zwei grundlegende Arten von Extrema – Minimum und Maximum. Weiter unterscheiden wir globales Maximum/Minimum und lokales Maximum/Minimum. Das globale Maximum ist die Stelle, an der die Funktion den größten Wert unter allen Stellen der Definitionsmenge hat. Wenn dieser Wert nur einmal angenommen wird, sagen wir, dass es sich um ein strenges Maximum handelt. Eine Funktion kann nämlich den höchsten Wert an mehreren Stellen haben, ähnlich wie zum Beispiel zwei verschiedene Angestellte das höchste Gehalt von 20.000 Euro im Monat beziehen können. Die Definitionen von Minimum und Maximum stehen im Artikel über Funktionen.

Das lokale Minimum definieren wir dagegen nur auf einem Teil der Definitionsmenge der Funktion, typischerweise auf einem Intervall. Definition des lokalen Maximums und Minimums:

• Die Funktion f hat an der Stelle M ∈ D_f ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U = ]M − ϵ; M + ϵ[ mit ϵ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ U ∩ D_f gilt f(x) ≤ f(M).
• Die Funktion f hat an der Stelle m ∈ D_f ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U = ]m − ϵ; m + ϵ[ mit ϵ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ U ∩ D_f gilt f(x) ≥ f(m).

Ein Beispiel für eine Funktion mit unendlich vielen Extrema ist die Funktion f(x) = x · sin x:

Und warum steht in der Definition „für alle x ∈ U ∩ D_f“, also warum steht dort der Schnitt mit der Definitionsmenge? Zum Beispiel deshalb, weil die Funktion, die durch diesen Graphen gegeben ist…

…an der Stelle m = 1 ein Minimum hat, aber in keiner linken Umgebung der Stelle m = 1 ist die Funktion definiert, sodass in dieser linken Umgebung nicht gelten würde, dass f(x) ≥ f(m). Wenn wir noch den Schnitt mit der Definitionsmenge bilden, erhalten wir nur die rechte Umgebung.

Grundprinzip beim Suchen von Extrema

Nun kehren wir aber zum Graphen der Funktion f(x) = x² + 1 mit drei Tangenten zurück:

Wir konzentrieren uns vor allem auf die Tangente c. Wir sehen, dass die Tangente den Graphen im Minimum der Funktion x² + 1 berührt und waagrecht ist, also parallel zur x-Achse. Sie „schließt“ mit der positiven x-Achse also einen Winkel von 0 Grad ein. Was würde passieren, wenn wir die Funktion umdrehen würden und sie statt des Minimums ein Maximum hätte? Der Graph der Funktion −x² + 1:

Beachten wir, dass die Tangente c, die durch das Maximum der Funktion −x² + 1 verläuft, wieder parallel zur x-Achse ist. Daraus ergibt sich eine Gesetzmäßigkeit: Wenn wir das Minimum oder Maximum einer Funktion suchen, suchen wir eine Tangente, die parallel zur x-Achse ist, bei der also der Tangens des Winkels, den sie mit der x-Achse einschließt, gleich null ist. Aus dem vorherigen Bild ist zu sehen, dass tan(0°) = 0. Im Zusammenhang mit Ableitungen suchen wir also eine Stelle, für die gilt, dass ihre Ableitung gleich null ist: f′(x) = 0.

Berechnen wir das Extremum unserer Lieblingsfunktion f(x) = x² + 1 mithilfe von Ableitungen. Die Ableitung der Funktion f ist f′(x) = 2x. Weiter suchen wir, wann die erste Ableitung gleich null ist, d. h. wir lösen die Gleichung f′(x) = 0; nach dem Einsetzen 2x = 0. Das gilt trivial für x = 0. Wir sehen, dass das damit übereinstimmt, dass die Funktion f(x) = x² + 1 an der Stelle x = 0 ein globales Minimum hat.

Ausnahmen von der „Regel“

Man würde gern sagen, dass eine Funktion an der Stelle x genau dann ein Extremum hat, wenn die Ableitung an dieser Stelle gleich null ist. Das stimmt leider nicht, so einfach ist es nicht. Schauen wir uns die folgenden Beispiele an:

• Versuchen wir, die Extrema der Funktion f(x) = x³ zu bestimmen. Die erste Ableitung dieser Funktion ist f′(x) = 3x². Wir lösen die Gleichung f′(x) = 0, also 3x² = 0. Das gilt offensichtlich für x = 0. Aber hat die Funktion x³ an der Stelle x = 0 irgendein Extremum? Schauen wir uns den Graphen an:

  

  Wir sehen, dass an der Stelle x = 0 kein Extremum der Funktion auftritt. Weder ein globales noch ein lokales. Warum ergibt sich dann an dieser Stelle eine Ableitung von null? Weil an dieser Stelle die Tangente t einfach parallel zur x-Achse ist, siehe das folgende Bild:

  

• Und was ist mit der netten Funktion f(x) = |x|, also dem Betrag von x? Aus dem Graphen können wir ablesen, dass sie an der Stelle x = 0 ein globales Minimum hat:

  

  Nur hat diese Funktion an der Stelle x = 0 keine Ableitung! An der Stelle x = 0 hat die Funktion keine Tangente, weil sich schwer sagen lässt, wie diese Tangente aussehen könnte.

Es gilt also:

• Wenn die Funktion f an der Stelle x ein Extremum hat, d. h. ein Minimum oder Maximum, und wenn an dieser Stelle die Ableitung existiert (!), dann ist diese Ableitung null. Es kann passieren, dass die Funktion an der Stelle x ein Extremum hat und gleichzeitig an der betreffenden Stelle keine Ableitung hat.

• Wenn die Funktion f an der Stelle x die Ableitung null hat, dann kann an dieser Stelle ein Extremum sein, muss aber nicht.

Wie man Extrema einer Funktion findet

Wir setzen voraus, dass wir als Eingabe eine Funktion f haben, die auf ihrer ganzen Definitionsmenge differenzierbar ist. Im ersten Schritt leiten wir also die Funktion f ab und erhalten so die Funktion f′. Weiter setzen wir die erste Ableitung gleich null, d. h. wir lösen die Gleichung f′(x) = 0. Die Lösungen dieser Gleichung sind die „extremwertverdächtigen“ Stellen, also stationäre Stellen.

Weiter müssen wir bestimmen, welche dieser stationären Stellen Extrema sind. Das stellen wir zum Beispiel mithilfe der zweiten Ableitung der Funktion f fest. Ist s eine stationäre Stelle, d. h. gilt f′(s) = 0, dann befindet sich an der Stelle s ein Minimum, falls f′′(s) > 0, während sich an der Stelle s ein Maximum befindet, falls f′′(s) < 0.

Ist auch die zweite Ableitung an dieser Stelle null, dann müssen wir weiter ableiten, dazu später. Jetzt ein Beispiel. Sei die Funktion f(x) = 3x² + 6x gegeben. Bestimme ihre Extrema.

Wir berechnen die erste Ableitung: f′(x) = 6x + 6. Wir setzen die erste Ableitung gleich null:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

x = −1 ist also eine stationäre Stelle, d. h. eine extremwertverdächtige Stelle. Wir berechnen die zweite Ableitung. Sie ist gleich der Funktion f′′(x) = 0x + 6. Nach dem Einsetzen der Stelle x = −1 erhalten wir f′′(−1) = 6. Das Ergebnis ist positiv, die Funktion hat an der betreffenden Stelle ein Minimum. Der Graph:

Was, wenn auch die zweite Ableitung null ist?

Versuchen wir, das Extremum der Funktion f(x) = x⁴ zu finden, Graph:

Die erste Ableitung dieser Funktion ist f′(x) = 4x³. Die Lösung der Gleichung f′(x) = 0 ist natürlich nur die eine stationäre Stelle s = 0. Wir berechnen die zweite Ableitung, sie ist gleich f′′(x) = 12x². In diese zweite Ableitung setzen wir die stationäre Stelle s ein, also erhalten wir

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Wir haben null erhalten, und nach dem, was wir bisher angeführt haben, erkennen wir nicht, ob an der Stelle ein Extremum ist oder nicht. Aber wir sehen, dass an der Stelle ein Extremum ist. Wenn diese Situation eintritt, leiten wir weiter ab. Wir bestimmen die dritte Ableitung und setzen die stationäre Stelle s ein. Kommt eine von null verschiedene Zahl heraus, ist an der Stelle s ein sogenannter Wendepunkt (dazu später). Kommt null heraus, leiten wir weiter ab. Bei der vierten Ableitung entscheiden wir genauso wie bei der zweiten – wir setzen die stationäre Stelle ein, und ein positiver Funktionswert bedeutet, dass dort ein Minimum ist, ein negativer, dass dort ein Maximum ist.

Die dritte Ableitung ist gleich f′′′(x) = 24x, nach dem Einsetzen haben wir f′′′(0) = 0, also leiten wir weiter ab. Die vierte Ableitung hat die Form f′′′′(x) = 24. Wir sehen, dass die vierte Ableitung schon immer positiv ist, woraus wir – genau wie bei der zweiten Ableitung – schließen können, dass die Funktion an der Stelle s = 0 ein Minimum hat. Und das hat sie auch.

Zusammenfassung des Vorgehens beim Finden von Extrema einer Funktion

1. Wir haben eine gegebene Funktion f, die differenzierbar ist.

2. Wir leiten die Funktion f ab.

3. Wir lösen die Gleichung f′(x) = 0. Alle s, die Lösungen der Gleichung sind, nennen wir stationäre Stellen, also extremwertverdächtige Stellen.

4. Wir berechnen die zweite Ableitung.

5. Wir berechnen den Wert der zweiten Ableitung an allen stationären Stellen s. Wenn f′′(s) > 0, hat die Funktion an der Stelle s ein Minimum, wenn f′′(s) < 0, dann ist an der Stelle s ein Maximum. Wenn f′′(s) = 0, dann leiten wir weiter ab.

   Tipp: Wenn du dir nicht merken willst, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ sein muss, damit an der Stelle ein Maximum oder Minimum ist, leite es dir einfach zum Beispiel aus der Funktion x² her. Den Graphen dieser Funktion solltest du kennen, und die erste und zweite Ableitung sind einfach: f′(x) = 2x und f′′(x) = 2. Die zweite Ableitung ist also immer positiv, und die Funktion x² hat an der Stelle x = 0 ein Minimum.

6. Wir berechnen die dritte Ableitung. Ist f′′′(s) ≠ 0, dann ist an der Stelle s ein Wendepunkt, andernfalls leiten wir weiter ab.

7. Wir berechnen die vierte Ableitung. Ist f′′′′(s) ≠ 0, dann befindet sich an der Stelle ein Extremum. Sonst leiten wir weiter ab.

8. Und so weiter und so weiter. Ist die erste von null verschiedene Ableitung eine ungerade Ableitung, handelt es sich um einen Wendepunkt. Ist die erste von null verschiedene Ableitung eine gerade, handelt es sich um ein Extremum.