Estudio de una función: extremos

Los extremos de una función son los puntos en los que la función alcanza sus valores máximos o mínimos.

Extremos de una función

Distinguimos dos tipos básicos de extremos: el mínimo y el máximo. Además distinguimos el máximo/mínimo absoluto (o global) y el máximo/mínimo local (o relativo). El máximo absoluto es el punto en el que la función tiene el mayor valor de todos los puntos del dominio. Si este valor es único, decimos que se trata de un máximo estricto. La función, en efecto, puede tener el valor más alto en varios puntos, igual que, por ejemplo, dos empleados distintos pueden cobrar el sueldo más alto, 20.000 € al mes. Las definiciones de mínimo y máximo se encuentran en el artículo sobre funciones.

El mínimo local, en cambio, se define solo en una parte del dominio de la función, normalmente en algún intervalo. Definición de máximo y mínimo local:

• La función f tiene en el punto M ∈ Dom f un máximo local si existe algún entorno U = (M − ϵ, M + ϵ), con ϵ > 0, tal que para todo x ∈ U ∩ Dom f se cumple f(x) ≤ f(M).
• La función f tiene en el punto m ∈ Dom f un mínimo local si existe algún entorno U = (m − ϵ, m + ϵ), con ϵ > 0, tal que para todo x ∈ U ∩ Dom f se cumple f(x) ≥ f(m).

Un ejemplo de función que tiene infinitos extremos es la función f(x) = x · sen x:

¿Y por qué en la definición aparece «para todo x ∈ U ∩ Dom f», es decir, por qué está ahí la intersección con el dominio? Por ejemplo, porque la función dada por esta gráfica…

…tiene en el punto m = 1 un mínimo, pero en cualquier entorno por la izquierda del punto m = 1 la función no está definida, así que en ese entorno por la izquierda no se cumpliría que f(x) ≥ f(m). Si hacemos además la intersección con el dominio, obtenemos solo el entorno por la derecha.

Principio básico de la búsqueda de extremos

Pero volvamos ahora a la gráfica de la función f(x) = x² + 1 junto con tres rectas tangentes:

Nos centraremos sobre todo en la recta tangente c. Vemos que la tangente toca la gráfica en el mínimo de la función x² + 1 y es horizontal, es decir, paralela al eje x. «Forma», por tanto, con el semieje positivo de abscisas un ángulo de 0 grados. ¿Qué ocurriría si le diéramos la vuelta a la función y, en lugar de un mínimo, la función tuviera un máximo? Gráfica de la función −x² + 1:

Fijémonos en que la recta tangente c, que pasa por el máximo de la función −x² + 1, vuelve a ser paralela al eje x. De ahí se deduce una regla: si buscamos el mínimo o el máximo de una función, buscamos una recta tangente que sea paralela al eje x, es decir, cuya tangente del ángulo que forma con el eje x sea igual a cero. De la figura anterior se ve que tan(0°) = 0. En el contexto de las derivadas buscamos, pues, un punto en el que la derivada sea igual a cero: f′(x) = 0.

Calculemos el extremo de nuestra querida función f(x) = x² + 1 mediante derivadas. La derivada de la función f es f′(x) = 2x. Después buscamos cuándo es la primera derivada igual a cero, es decir, resolvemos la ecuación f′(x) = 0; tras sustituir, 2x = 0. Eso se cumple trivialmente para x = 0. Vemos que concuerda con el hecho de que la función f(x) = x² + 1 tiene en el punto x = 0 un mínimo absoluto.

Excepciones a la «regla»

Uno estaría tentado de decir que una función tiene un extremo en el punto x si y solo si la derivada en ese punto es igual a cero. Por desgracia eso no es cierto; no es tan sencillo. Veamos los siguientes ejemplos:

• Probemos a hallar los extremos de la función f(x) = x³. La primera derivada de esta función es f′(x) = 3x². Resolvemos la ecuación f′(x) = 0, es decir, 3x² = 0. Eso se cumple evidentemente para x = 0. Pero ¿tiene la función x³ algún extremo en el punto x = 0? Veamos la gráfica:

  

  Vemos que en el punto x = 0 no se da ningún extremo de la función. Ni absoluto ni local. ¿Por qué nos sale entonces la derivada nula en este punto? Porque, sencillamente, en este punto la recta tangente t es paralela al eje x, véase la siguiente figura:

  

• ¿Y qué hay de la simpática función f(x) = |x|, es decir, el valor absoluto de x? De la gráfica podemos leer que tiene en el punto x = 0 un mínimo absoluto:

  

  ¡Pero esta función no tiene derivada en el punto x = 0! En el punto x = 0 la función no tiene recta tangente, porque es difícil decir qué aspecto podría tener esa tangente.

Se cumple, por tanto:

• Si la función f tiene en el punto x un extremo, es decir, un mínimo o un máximo, y si en este punto existe la derivada (!), entonces esta derivada es nula. Puede ocurrir que la función tenga en el punto x un extremo y que al mismo tiempo no tenga en ese punto ninguna derivada.

• Si la función f tiene en el punto x derivada nula, entonces en este punto puede haber un extremo, pero también puede no haberlo.

Cómo hallar los extremos de una función

Supondremos que tenemos como dato una función f derivable en todo su dominio. En el primer paso derivamos, por tanto, la función f y obtenemos la función f′. Después igualamos la primera derivada a cero, es decir, resolvemos la ecuación f′(x) = 0. Las soluciones de esta ecuación son los puntos «sospechosos» de ser extremos, o puntos críticos.

Después tenemos que determinar cuáles de esos puntos críticos son extremos. Eso lo averiguamos, por ejemplo, a partir de la segunda derivada de la función f. Si s es un punto crítico, es decir, si se cumple f′(s) = 0, entonces, si f′′(s) > 0, en el punto s hay un mínimo, mientras que si f′′(s) < 0, en el punto s hay un máximo.

Si también la segunda derivada en este punto es nula, tenemos que seguir derivando; de eso hablaremos más adelante. Ahora, un ejemplo. Sea la función f(x) = 3x² + 6x. Halla sus extremos.

Calculamos la primera derivada: f′(x) = 6x + 6. Igualamos la primera derivada a cero:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

En el punto x = −1 se encuentra, por tanto, un punto crítico; un punto sospechoso de ser extremo. Calculamos la segunda derivada. Esta es igual a la función f′′(x) = 0x + 6. Tras sustituir el punto x = −1 obtenemos f′′(−1) = 6. El resultado es positivo, la función tiene en ese punto un mínimo. Gráfica:

¿Y si también la segunda derivada es nula?

Probemos a hallar el extremo de la función f(x) = x⁴, gráfica:

La primera derivada de esta función es f′(x) = 4x³. La solución de la ecuación f′(x) = 0 es, como es natural, el único punto crítico s = 0. Calculamos la segunda derivada, que es igual a f′′(x) = 12x². En esta segunda derivada sustituimos el punto crítico s, con lo que obtenemos

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Hemos obtenido cero y, según lo que hemos dicho hasta ahora, no sabemos si en el punto hay un extremo o no. Sin embargo, en la gráfica vemos que en el punto sí hay un extremo. Si se da esta situación, seguimos derivando. Hallamos la tercera derivada y sustituimos el punto crítico s. Si sale un número distinto de cero, en el punto s hay lo que se llama un punto de inflexión (de eso hablaremos más adelante). Si sale cero, seguimos derivando. En la cuarta derivada decidimos igual que en la segunda: sustituimos el punto crítico y un valor positivo de la función significa que allí hay un mínimo, y uno negativo, que allí hay un máximo.

La tercera derivada es igual a f′′′(x) = 24x; tras sustituir tenemos f′′′(0) = 0, así que seguimos derivando. La cuarta derivada tiene la forma f′′′′(x) = 24. Vemos que la cuarta derivada ya es siempre positiva, de lo cual podemos deducir —igual que con la segunda derivada— que la función tiene en el punto s = 0 un mínimo. Y, efectivamente, lo tiene.

Resumen del procedimiento para hallar los extremos de una función

1. Partimos de una función f derivable.

2. Derivamos la función f.

3. Resolvemos la ecuación f′(x) = 0. A todos los s que son solución de la ecuación los llamamos puntos críticos, es decir, puntos sospechosos de ser extremos.

4. Calculamos la segunda derivada.

5. Calculamos el valor de la segunda derivada en todos los puntos críticos s. Si f′′(s) > 0, la función tiene en el punto s un mínimo; si f′′(s) < 0, entonces en el punto s hay un máximo. Si f′′(s) = 0, seguimos derivando.

   Consejo: si no te apetece recordar si la segunda derivada tiene que ser positiva o negativa para que en el punto haya un máximo o un mínimo, simplemente dedúcelo de la función x². La gráfica de esta función deberías conocerla y la primera y la segunda derivada son sencillas: f′(x) = 2x y f′′(x) = 2. La segunda derivada es, por tanto, siempre positiva y la función x² tiene en el punto x = 0 un mínimo.

6. Calculamos la tercera derivada. Si f′′′(s) ≠ 0, entonces en el punto s hay un punto de inflexión; en caso contrario, seguimos derivando.

7. Calculamos la cuarta derivada. Si f′′′′(s) ≠ 0, entonces en el punto hay un extremo. En caso contrario, seguimos derivando.

8. Y así sucesivamente. Si la primera derivada no nula es una derivada de orden impar, se trata de un punto de inflexión. Si la derivada no nula es de orden par, se trata de un extremo.