Studiul funcției: extreme

Extremele funcției sunt punctele în care funcția are valorile ei maxime sau minime.

Extremele funcției

Deosebim două tipuri de bază de extreme – minimul și maximul. Mai departe deosebim maximul/minimul global și maximul/minimul local. Maximul global este punctul în care funcția are cea mai mare valoare dintre toate punctele domeniului de definiție. Dacă această valoare este atinsă într-un singur punct, spunem că este vorba de un maxim strict. Funcția poate avea valoarea cea mai mare în mai multe puncte, la fel cum, de exemplu, doi angajați diferiți pot primi cel mai mare salariu, de 100.000 de lei pe lună. Definițiile minimului și maximului sunt date în articolul despre funcții.

Minimul local îl definim doar pe o parte a domeniului de definiție al funcției, de obicei pe un interval. Definițiile maximului și minimului local:

• Funcția f are în punctul M ∈ D_f un maxim local dacă există o vecinătate U = (M − ϵ, M + ϵ), cu ϵ > 0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D_f avem f(x) ≤ f(M).
• Funcția f are în punctul m ∈ D_f un minim local dacă există o vecinătate U = (m − ϵ, m + ϵ), cu ϵ > 0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D_f avem f(x) ≥ f(m).

Un exemplu de funcție care are infinit de multe extreme este funcția f(x) = x · sin x:

Și de ce apare în definiție „pentru orice x ∈ U ∩ D_f”, adică de ce este acolo intersecția cu domeniul de definiție? De exemplu pentru că funcția dată de acest grafic…

…are în punctul m = 1 un minim, dar în nicio vecinătate la stânga punctului m = 1 funcția nu este definită, deci în această vecinătate la stânga nu ar fi valabil că f(x) ≥ f(m). Dacă facem în plus intersecția cu domeniul de definiție, obținem doar vecinătatea la dreapta.

Principiul de bază al căutării extremelor

Acum să ne întoarcem însă la graficul funcției f(x) = x² + 1 împreună cu trei tangente:

Ne concentrăm mai ales asupra tangentei c. Vedem că tangenta atinge graficul în minimul funcției x² + 1 și este orizontală, adică paralelă cu axa Ox. „Face” deci cu semiaxa pozitivă Ox un unghi de 0 grade. Ce s-ar întâmpla dacă am răsturna funcția și, în loc de minim, funcția ar avea un maxim? Graficul funcției −x² + 1:

Observă că tangenta c, care trece prin maximul funcției −x² + 1, este din nou paralelă cu axa Ox. De aici rezultă o regularitate: dacă căutăm minimul sau maximul unei funcții, căutăm o tangentă paralelă cu axa Ox, adică o tangentă pentru care tangenta (trigonometrică) unghiului pe care îl face cu axa Ox este egală cu zero. Din figura precedentă se poate vedea că tg(0°) = 0. În contextul derivatelor căutăm deci un punct pentru care derivata lui este egală cu zero: f′(x) = 0.

Să calculăm extremul funcției noastre preferate f(x) = x² + 1 cu ajutorul derivatelor. Derivata funcției f este f′(x) = 2x. Apoi căutăm când este prima derivată egală cu zero, adică rezolvăm ecuația f′(x) = 0; după înlocuire 2x = 0. Aceasta este evident adevărată pentru x = 0. Vedem că aceasta se potrivește cu faptul că funcția f(x) = x² + 1 are în punctul x = 0 un minim global.

Excepții de la „regulă”

Ne-ar plăcea să spunem că funcția are în punctul x un extrem exact atunci când derivata în acest punct este egală cu zero. Din păcate, nu este adevărat, lucrurile nu sunt chiar atât de simple. Să privim exemplele următoare:

• Încercăm să aflăm extremele funcției f(x) = x³. Prima derivată a acestei funcții este f′(x) = 3x². Rezolvăm ecuația f′(x) = 0, adică 3x² = 0. Aceasta este evident adevărată pentru x = 0. Dar are funcția x³ în punctul x = 0 vreun extrem? Să privim graficul:

  

  Vedem că în punctul x = 0 nu apare niciun extrem al funcției. Nici global, nici local. De ce ne iese atunci în acest punct derivata nulă? Pentru că în acest punct tangenta t este pur și simplu paralelă cu axa Ox, vezi figura următoare:

  

• Dar o funcție simpatică precum f(x) = |x|, adică modulul lui x? Din grafic putem citi că are în punctul x = 0 un minim global:

  

  Numai că această funcție nu are în punctul x = 0 derivată! În punctul x = 0 funcția nu are tangentă, pentru că e greu de spus cum ar putea arăta o astfel de tangentă.

Așadar este valabil:

• Dacă funcția f are în punctul x un extrem, adică un minim sau un maxim, și dacă în acest punct există derivata (!), atunci această derivată este nulă. Se poate întâmpla ca funcția să aibă în punctul x un extrem și, în același timp, în punctul dat să nu aibă nicio derivată.

• Dacă funcția f are în punctul x derivata nulă, atunci în acest punct poate fi un extrem, dar poate să nu fie.

Cum găsim extremele funcției

Vom presupune că avem la intrare o funcție f derivabilă pe tot domeniul ei de definiție. În primul pas derivăm deci funcția f și obținem funcția f′. Apoi punem prima derivată egală cu zero, adică rezolvăm ecuația f′(x) = 0. Soluțiile acestei ecuații sunt punctele „suspecte” de extrem, adică punctele staționare (numite și puncte critice).

Apoi trebuie să stabilim care dintre aceste puncte staționare sunt extreme. Aflăm asta, de exemplu, cu ajutorul derivatei de ordinul al doilea a funcției f. Dacă s este un punct staționar, adică dacă f′(s) = 0, atunci, dacă f′′(s) > 0, în punctul s se află un minim, în timp ce dacă f′′(s) < 0, în punctul s se află un maxim.

Dacă și derivata a doua în acest punct este nulă, trebuie să continuăm cu derivarea, despre asta mai târziu. Acum un exemplu. Fie funcția f(x) = 3x² + 6x. Află extremele ei.

Calculăm prima derivată: f′(x) = 6x + 6. Punem prima derivată egală cu zero:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

În punctul x = −1 se află deci un punct staționar; un punct suspect de extrem. Calculăm derivata a doua. Aceasta este funcția f′′(x) = 0x + 6. După înlocuirea punctului x = −1 obținem f′′(−1) = 6. Rezultatul este pozitiv, funcția are în punctul dat un minim. Graficul:

Ce facem dacă și derivata a doua este nulă?

Să încercăm să găsim extremul funcției f(x) = x⁴, graficul:

Prima derivată a acestei funcții este f′(x) = 4x³. Soluția ecuației f′(x) = 0 este, bineînțeles, singurul punct staționar s = 0. Calculăm derivata a doua, care este egală cu f′′(x) = 12x². În această derivată a doua înlocuim punctul staționar s, deci obținem

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Am obținut zero și, după cele spuse până acum, nu putem ști dacă în punct este sau nu un extrem. Dar noi vedem că în punct este un extrem. Dacă apare această situație, derivăm mai departe. Găsim derivata a treia și înlocuim punctul staționar s. Dacă ne iese un număr nenul, în punctul s este așa-numitul punct de inflexiune (despre asta mai târziu). Dacă ne iese zero, derivăm mai departe. La derivata a patra decidem la fel ca la derivata a doua – înlocuim punctul staționar și o valoare pozitivă a funcției înseamnă că acolo este un minim, o valoare negativă că acolo este un maxim.

Derivata a treia este egală cu f′′′(x) = 24x, după înlocuire avem f′′′(0) = 0, deci derivăm mai departe. Derivata a patra are forma f′′′′(x) = 24. Vedem că derivata a patra este deja mereu pozitivă, de unde putem deduce – la fel ca la derivata a doua – că funcția are în punctul s = 0 un minim. Și chiar are.

Rezumatul mersului de aflare a extremelor funcției

1. Avem o funcție f care este derivabilă.

2. Derivăm funcția f.

3. Rezolvăm ecuația f′(x) = 0. Toate valorile s care sunt soluții ale ecuației le numim puncte staționare, adică puncte suspecte de extrem.

4. Calculăm derivata a doua.

5. Calculăm valoarea derivatei a doua în toate punctele staționare s. Dacă f′′(s) > 0, funcția are în punctul s un minim, dacă f′′(s) < 0, atunci în punctul s este un maxim. Dacă f′′(s) = 0, atunci derivăm mai departe.

   Sfat: dacă nu vrei să ții minte dacă derivata a doua trebuie să fie pozitivă sau negativă pentru ca în punct să fie maxim sau minim, dedu-o simplu, de exemplu, din funcția x². Graficul acestei funcții ar trebui să-l cunoști, iar prima și a doua derivată sunt simple: f′(x) = 2x și f′′(x) = 2. Derivata a doua este deci mereu pozitivă și funcția x² are în punctul x = 0 un minim.

6. Calculăm derivata a treia. Dacă f′′′(s) ≠ 0, atunci în punctul s este un punct de inflexiune, în caz contrar derivăm mai departe.

7. Calculăm derivata a patra. Dacă f′′′′(s) ≠ 0, atunci în punct se află un extrem. Altfel derivăm mai departe.

8. Și tot așa. Dacă prima derivată nenulă este o derivată de ordin impar, este vorba de un punct de inflexiune. Dacă este nenulă una de ordin par, este vorba de un extrem.