Étude de fonction : extrema

Les extrema d’une fonction sont les points où la fonction atteint ses valeurs maximales ou minimales.

Extrema d’une fonction

On distingue deux types d’extrema : le minimum et le maximum. On distingue aussi le maximum global (ou minimum global) et le maximum local (ou minimum local). Le maximum global est le point où la fonction prend sa plus grande valeur parmi tous les points de l’ensemble de définition. Si ce point est unique, on dit que le maximum est strict. En effet, une fonction peut atteindre sa valeur la plus élevée en plusieurs points, tout comme deux employés différents peuvent toucher le salaire le plus élevé, par exemple 20 000 € par mois. Les définitions du minimum et du maximum se trouvent dans l’article sur les fonctions.

Le minimum local, lui, se définit seulement sur une partie de l’ensemble de définition de la fonction, en général sur un intervalle. Voici les définitions du maximum local et du minimum local :

• La fonction f a un maximum local en $M\in {\mathcal{D}}_f$ s’il existe un voisinage U = ]M − ϵ ; M + ϵ[, avec ϵ > 0, tel que pour tout $x\in U\cap {\mathcal{D}}_f$ on ait f(x) ≤ f(M).
• La fonction f a un minimum local en $m\in {\mathcal{D}}_f$ s’il existe un voisinage U = ]m − ϵ ; m + ϵ[, avec ϵ > 0, tel que pour tout $x\in U\cap {\mathcal{D}}_f$ on ait f(x) ≥ f(m).

La fonction f(x) = x · sin x est un exemple de fonction qui a une infinité d’extrema :

Et pourquoi la définition dit-elle « pour tout $x\in U\cap {\mathcal{D}}_f$ », c’est-à-dire pourquoi y a-t-il cette intersection avec l’ensemble de définition ? Par exemple parce que la fonction donnée par ce graphique…

…a un minimum en m = 1, alors que dans n’importe quel voisinage à gauche de m = 1 la fonction n’est pas définie, donc l’inégalité f(x) ≥ f(m) ne pourrait pas y être vérifiée. Si l’on prend en plus l’intersection avec l’ensemble de définition, il ne reste que le voisinage à droite.

Principe de base de la recherche des extrema

Revenons maintenant à la courbe de la fonction f(x) = x² + 1 avec trois tangentes :

Concentrons-nous surtout sur la tangente c. On voit qu’elle touche la courbe au minimum de la fonction x² + 1 et qu’elle est horizontale, donc parallèle à l’axe des abscisses. Elle « forme » ainsi un angle de 0 degré avec le demi-axe positif des abscisses. Que se passerait-il si l’on retournait la fonction, de sorte qu’elle ait un maximum au lieu d’un minimum ? Voici la courbe de la fonction −x² + 1 :

Remarquons que la tangente c, qui passe par le maximum de la fonction −x² + 1, est de nouveau parallèle à l’axe des abscisses. On en tire une règle : si l’on cherche le minimum ou le maximum d’une fonction, on cherche une tangente parallèle à l’axe des abscisses, c’est-à-dire dont la tangente de l’angle qu’elle forme avec cet axe est égale à zéro. D’après la figure précédente, tan(0°) = 0. En termes de dérivées, on cherche donc un point où la dérivée est nulle : f′(x) = 0.

Calculons l’extremum de notre fonction préférée f(x) = x² + 1 à l’aide des dérivées. La dérivée de f est f′(x) = 2x. On cherche ensuite où la dérivée première s’annule, c’est-à-dire qu’on résout l’équation f′(x) = 0 ; après substitution, 2x = 0. Cela est trivialement vrai pour x = 0. On voit que cela concorde avec le fait que la fonction f(x) = x² + 1 a un minimum global en x = 0.

Exceptions à la « règle »

On aimerait dire qu’une fonction a un extremum en x si et seulement si sa dérivée est nulle en ce point. Malheureusement, ce n’est pas vrai : ce n’est pas si simple. Regardons les exemples suivants :

• Essayons de trouver les extrema de la fonction f(x) = x³. Sa dérivée première est f′(x) = 3x². Résolvons l’équation f′(x) = 0, c’est-à-dire 3x² = 0. Elle est manifestement vraie pour x = 0. Mais la fonction x³ a-t-elle un extremum en x = 0 ? Regardons la courbe :

  

  On voit qu’il n’y a aucun extremum en x = 0, ni global ni local. Pourquoi la dérivée s’annule-t-elle alors en ce point ? Tout simplement parce que la tangente t y est parallèle à l’axe des abscisses, comme le montre la figure suivante :

  

• Et que dire de l’aimable fonction f(x) = |x|, c’est-à-dire la valeur absolue de x ? D’après la courbe, on voit qu’elle a un minimum global en x = 0 :

  

  Seulement voilà, cette fonction n’a pas de dérivée en x = 0 ! En x = 0, la fonction n’a pas de tangente, car on voit mal à quoi la tangente pourrait ressembler.

On a donc :

• Si la fonction f a un extremum en x, c’est-à-dire un minimum ou un maximum, et si la dérivée existe en ce point (!), alors cette dérivée est nulle. Il peut arriver que la fonction ait un extremum en x et qu’en même temps elle n’ait aucune dérivée en ce point.

• Si la fonction f a une dérivée nulle en x, il peut y avoir un extremum en ce point, mais ce n’est pas obligatoire.

Comment trouver les extrema d’une fonction

Supposons que nous ayons une fonction f dérivable sur tout son ensemble de définition. Dans un premier temps, on dérive la fonction f, ce qui donne la fonction f′. Ensuite, on pose la dérivée première égale à zéro, c’est-à-dire qu’on résout l’équation f′(x) = 0. Les solutions de cette équation sont les points « candidats » à être des extrema, ou points stationnaires.

Il faut ensuite déterminer lesquels de ces points stationnaires sont des extrema. On peut le faire, par exemple, avec la dérivée seconde de f. Si s est un point stationnaire, c’est-à-dire si f′(s) = 0, alors, si f′′(s) > 0, il y a un minimum en s, tandis que si f′′(s) < 0, il y a un maximum en s.

Si la dérivée seconde est elle aussi nulle en ce point, il faut continuer à dériver ; nous y reviendrons plus loin. Voyons d’abord un exemple. Soit la fonction f(x) = 3x² + 6x. Trouve ses extrema.

Calculons la dérivée première : f′(x) = 6x + 6. Posons la dérivée première égale à zéro :

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Il y a donc un point stationnaire en x = −1 ; c’est un point candidat à être un extremum. Calculons la dérivée seconde. C’est la fonction f′′(x) = 0x + 6. En remplaçant x par −1, on obtient f′′(−1) = 6. Le résultat est strictement positif : la fonction a un minimum en ce point. Voici la courbe :

Et si la dérivée seconde est elle aussi nulle ?

Essayons de trouver l’extremum de la fonction f(x) = x⁴, dont voici la courbe :

La dérivée première de cette fonction est f′(x) = 4x³. La solution de l’équation f′(x) = 0 est bien sûr l’unique point stationnaire s = 0. Calculons la dérivée seconde : f′′(x) = 12x². Remplaçons x par le point stationnaire s dans cette dérivée seconde :

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

On obtient zéro et, d’après ce que nous avons vu jusqu’ici, on ne peut pas savoir s’il y a ou non un extremum en ce point. Mais nous voyons bien qu’il y en a un. Quand cette situation se présente, on continue à dériver. On trouve la dérivée troisième et on y remplace x par le point stationnaire s. Si l’on obtient un nombre non nul, il y a en s ce qu’on appelle un point d’inflexion (nous en reparlerons). Si l’on obtient zéro, on dérive encore. Pour la dérivée quatrième, on décide comme pour la dérivée seconde : on remplace x par le point stationnaire, et une valeur strictement positive signifie qu’il y a un minimum, une valeur strictement négative qu’il y a un maximum.

La dérivée troisième est f′′′(x) = 24x, et en remplaçant on obtient f′′′(0) = 0, donc on dérive encore. La dérivée quatrième est f′′′′(x) = 24. On voit que la dérivée quatrième est désormais toujours strictement positive, d’où l’on peut déduire, comme avec la dérivée seconde, que la fonction a un minimum en s = 0. Et c’est bien le cas.

Résumé de la méthode pour trouver les extrema d’une fonction

1. On a une fonction f dérivable.

2. On dérive la fonction f.

3. On résout l’équation f′(x) = 0. Toutes les solutions s de l’équation s’appellent des points stationnaires, ou points candidats à être des extrema.

4. On calcule la dérivée seconde.

5. On calcule la valeur de la dérivée seconde en chacun des points stationnaires s. Si f′′(s) > 0, la fonction a un minimum en s ; si f′′(s) < 0, il y a un maximum en s. Si f′′(s) = 0, on dérive encore.

   Astuce : si tu n’arrives pas à retenir si la dérivée seconde doit être positive ou négative pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, déduis-le simplement de la fonction x². Tu devrais connaître sa courbe, et ses dérivées première et seconde sont simples : f′(x) = 2x et f′′(x) = 2. La dérivée seconde est donc toujours strictement positive et la fonction x² a un minimum en x = 0.

6. On calcule la dérivée troisième. Si f′′′(s) ≠ 0, il y a un point d’inflexion en s ; sinon, on dérive encore.

7. On calcule la dérivée quatrième. Si f′′′′(s) ≠ 0, il y a un extremum en ce point. Sinon, on dérive encore.

8. Et ainsi de suite. Si la première dérivée non nulle est d’ordre impair, il s’agit d’un point d’inflexion. Si la première dérivée non nulle est d’ordre pair, il s’agit d’un extremum.