Funktion kulun tutkiminen: ääriarvot

Funktion ääriarvot ovat pisteitä, joissa funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa.

Funktion ääriarvot

Ääriarvoja on kahta perustyyppiä – minimi ja maksimi. Lisäksi erotetaan globaali maksimi/minimi ja paikallinen maksimi/minimi. Globaali maksimi on piste, jossa funktiolla on suurin arvo kaikista määrittelyjoukon pisteistä. Jos tämä arvo on vain yksi, sanotaan, että kyseessä on aito maksimi. Funktiolla voi nimittäin olla suurin arvo useammassa pisteessä, aivan kuten esimerkiksi kaksi eri työntekijää voi saada saman suurimman palkan, 40 000 euroa kuukaudessa. Minimin ja maksimin määritelmät on esitetty funktioita käsittelevässä artikkelissa.

Paikallinen minimi määritellään vain osalla funktion määrittelyjoukkoa, tyypillisesti jollakin välillä. Merkitään funktion f määrittelyjoukkoa M_f. Paikallisen maksimin ja minimin määritelmät:

• Funktiolla f on pisteessä M, joka kuuluu määrittelyjoukkoon M_f, paikallinen maksimi, jos on olemassa jokin ympäristö U = ]M − ϵ, M + ϵ[, missä ϵ > 0, siten että kaikilla x ∈ U ∩ M_f pätee f(x) ≤ f(M).
• Funktiolla f on pisteessä m, joka kuuluu määrittelyjoukkoon M_f, paikallinen minimi, jos on olemassa jokin ympäristö U = ]m − ϵ, m + ϵ[, missä ϵ > 0, siten että kaikilla x ∈ U ∩ M_f pätee f(x) ≥ f(m).

Esimerkki funktiosta, jolla on äärettömän monta ääriarvoa, on funktio f(x) = x · sin x:

Ja miksi määritelmässä sanotaan ”kaikilla x ∈ U ∩ M_f”, eli miksi siinä on leikkaus määrittelyjoukon kanssa? Esimerkiksi siksi, että tämän kuvaajan antama funktio…

…saa pisteessä m = 1 minimin, mutta pisteen m = 1 vasemmanpuoleisessa ympäristössä funktiota ei ole määritelty missään, joten tässä vasemmanpuoleisessa ympäristössä ei pätisi f(x) ≥ f(m). Kun otetaan vielä leikkaus määrittelyjoukon kanssa, saadaan vain oikeanpuoleinen ympäristö.

Ääriarvojen etsimisen perusperiaate

Palataan nyt kuitenkin funktion f(x) = x² + 1 kuvaajaan, jossa on kolme tangenttia:

Keskitytään erityisesti tangenttiin c. Nähdään, että tangentti sivuaa kuvaajaa funktion x² + 1 minimikohdassa ja on vaakasuora, eli yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Se ”muodostaa” siis positiivisen x-akselin kanssa 0 asteen kulman. Mitä tapahtuisi, jos funktio käännettäisiin ympäri ja minimin sijaan funktiolla olisi maksimi? Funktion −x² + 1 kuvaaja:

Huomataan, että tangentti c, joka kulkee funktion −x² + 1 maksimin kautta, on jälleen yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Tästä syntyy säännönmukaisuus: jos etsitään funktion minimiä tai maksimia, etsitään tangenttia, joka on yhdensuuntainen x-akselin kanssa, jonka x-akselin kanssa muodostaman kulman tangentti on nolla. Edellisestä kuvasta nähdään, että tan(0°) = 0. Derivaattojen yhteydessä etsitään siis pistettä, jossa derivaatta on nolla: f′(x) = 0.

Lasketaan derivaattojen avulla ääriarvo jo tutulle funktiolle f(x) = x² + 1. Funktion f derivaatta on f′(x) = 2x. Seuraavaksi etsitään, milloin ensimmäinen derivaatta on nolla, eli ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0; sijoituksen jälkeen 2x = 0. Tämä pätee triviaalisti, kun x = 0. Nähdään, että tämä sopii yhteen sen kanssa, että funktiolla f(x) = x² + 1 on pisteessä x = 0 globaali minimi.

Poikkeukset ”säännöstä”

Tekisi mieli sanoa, että funktiolla on pisteessä x ääriarvo täsmälleen silloin, kun derivaatta on tässä pisteessä nolla. Se ei valitettavasti pidä paikkaansa, näin yksinkertaista se ei ole. Tarkastellaan seuraavia esimerkkejä:

• Yritetään selvittää funktion f(x) = x³ ääriarvot. Tämän funktion ensimmäinen derivaatta on f′(x) = 3x². Ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0, eli 3x² = 0. Se on selvästi tosi, kun x = 0. Mutta onko funktiolla x³ pisteessä x = 0 jokin ääriarvo? Katsotaan kuvaajaa:

  

  Nähdään, että pisteessä x = 0 ei ole ääriarvoa. Ei globaalia eikä paikallista. Miksi derivaatta siis tulee tässä pisteessä nollaksi? Koska tässä pisteessä tangentti t on yksinkertaisesti yhdensuuntainen x-akselin kanssa, katso seuraava kuva:

  

• Entä mukava funktio f(x) = |x|, eli x:n itseisarvo? Kuvaajasta voidaan lukea, että sillä on pisteessä x = 0 globaali minimi:

  

  Mutta tällä funktiolla ei ole pisteessä x = 0 derivaattaa! Pisteessä x = 0 funktiolla ei ole tangenttia, koska on vaikea sanoa, miltä se tangentti voisi näyttää.

Pätee siis:

• Jos funktiolla f on pisteessä x ääriarvo, eli minimi tai maksimi, ja jos tässä pisteessä on olemassa derivaatta (!), tämä derivaatta on nolla. Voi käydä niin, että funktiolla on pisteessä x ääriarvo ja samalla funktiolla ei ole tässä pisteessä lainkaan derivaattaa.

• Jos funktion f derivaatta on pisteessä x nolla, tässä pisteessä voi olla ääriarvo, mutta ei välttämättä ole.

Miten funktion ääriarvot löydetään

Oletetaan, että lähtötietona on funktio f, joka on derivoituva koko määrittelyjoukossaan. Ensimmäisessä vaiheessa funktio f derivoidaan, jolloin saadaan funktio f′. Seuraavaksi asetetaan ensimmäinen derivaatta nollaksi, eli ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0. Tämän yhtälön ratkaisut ovat pisteitä, jotka ovat ”ääriarvokandidaatteja”, eli stationaarisia pisteitä.

Sitten täytyy määrittää, mitkä näistä stationaarisista pisteistä ovat ääriarvoja. Se selviää esimerkiksi funktion f toisesta derivaatasta. Jos s on stationaarinen piste, eli jos pätee f′(s) = 0, ja jos f′′(s) > 0, pisteessä s on minimi, kun taas jos f′′(s) < 0, pisteessä s on maksimi.

Jos myös toinen derivaatta on tässä pisteessä nolla, täytyy jatkaa derivointia pidemmälle, siitä myöhemmin. Nyt esimerkki. Olkoon funktio f(x) = 3x² + 6x. Etsi sen ääriarvot.

Lasketaan ensimmäinen derivaatta: f′(x) = 6x + 6. Asetetaan ensimmäinen derivaatta nollaksi:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Pisteessä x = −1 on siis stationaarinen piste; ääriarvokandidaatti. Lasketaan toinen derivaatta. Se on funktio f′′(x) = 0x + 6. Kun sijoitetaan piste x = −1, saadaan f′′(−1) = 6. Tulos on positiivinen, joten funktiolla on tässä pisteessä minimi. Kuvaaja:

Entä jos myös toinen derivaatta on nolla?

Yritetään löytää funktion f(x) = x⁴ ääriarvo, kuvaaja:

Tämän funktion ensimmäinen derivaatta on f′(x) = 4x³. Yhtälön f′(x) = 0 ratkaisu on ymmärrettävästi vain yksi stationaarinen piste s = 0. Lasketaan toinen derivaatta, joka on f′′(x) = 12x². Sijoitetaan tähän toiseen derivaattaan stationaarinen piste s, jolloin saadaan

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Saatiin nolla, ja sen perusteella, mitä tähän mennessä on todettu, ei voida tietää, onko pisteessä ääriarvo vai ei. Mutta nähdään, että pisteessä on ääriarvo. Jos tällainen tilanne tulee vastaan, derivoidaan edelleen. Etsitään kolmas derivaatta ja sijoitetaan siihen stationaarinen piste s. Jos tulokseksi tulee nollasta poikkeava luku, pisteessä s on niin sanottu käännepiste (siitä myöhemmin). Jos tulokseksi tulee nolla, derivoidaan edelleen. Neljännen derivaatan kohdalla päätetään samoin kuin toisen kohdalla – sijoitetaan stationaarinen piste, ja positiivinen funktion arvo tarkoittaa, että siinä on minimi, negatiivinen että siinä on maksimi.

Kolmas derivaatta on f′′′(x) = 24x, sijoituksen jälkeen saadaan f′′′(0) = 0, joten derivoidaan edelleen. Neljäs derivaatta on f′′′′(x) = 24. Nähdään, että neljäs derivaatta on aina positiivinen, mistä voidaan – samoin kuin toisen derivaatan kohdalla – päätellä, että funktiolla on pisteessä s = 0 minimi. Ja niinhän sillä onkin.

Yhteenveto funktion ääriarvojen löytämisen menettelystä

1. On annettu funktio f, joka on derivoituva.

2. Derivoidaan funktio f.

3. Ratkaistaan yhtälö f′(x) = 0. Kaikki yhtälön ratkaisut s nimetään stationaarisiksi pisteiksi, eli ääriarvokandidaateiksi.

4. Lasketaan toinen derivaatta.

5. Lasketaan toisen derivaatan arvo kaikissa stationaarisissa pisteissä s. Jos f′′(s) > 0, funktiolla on pisteessä s minimi, ja jos f′′(s) < 0, pisteessä s on maksimi. Jos f′′(s) = 0, derivoidaan edelleen.

   Neuvo: jos et jaksa muistaa, pitääkö toisen derivaatan olla positiivinen vai negatiivinen, jotta kohdassa olisi maksimi tai minimi, johda se yksinkertaisesti vaikkapa funktiosta x². Tämän funktion kuvaaja pitäisi tuntea, ja sekä ensimmäinen että toinen derivaatta ovat yksinkertaisia: f′(x) = 2x ja f′′(x) = 2. Toinen derivaatta on siis aina positiivinen, ja funktiolla x² on pisteessä x = 0 minimi.

6. Lasketaan kolmas derivaatta. Jos f′′′(s) ≠ 0, pisteessä s on käännepiste, muuten derivoidaan edelleen.

7. Lasketaan neljäs derivaatta. Jos f′′′′(s) ≠ 0, pisteessä on ääriarvo. Muuten derivoidaan edelleen.

8. Ja niin edelleen. Jos ensimmäinen nollasta poikkeava derivaatta on parittoman kertaluvun derivaatta, kyseessä on käännepiste. Jos nollasta poikkeava derivaatta on parillisen kertaluvun derivaatta, kyseessä on ääriarvo.