Funktion derivaatta

Derivaatta on differentiaalilaskennan peruskäsite. Sillä on merkittävä rooli esimerkiksi funktion kulun tutkimisessa. Toisaalta opiskelijat inhoavat sitä, toisaalta derivaatan osaa laskea jopa asianmukaisesti koulutettu apina. Tässä artikkelissa vain kuvataan ja selitetään derivaatan määritelmä ja siihen liittyvät käsitteet. Ratkaistuja esimerkkejä löytyy viereisistä artikkeleista: yksinkertaisia derivaattaesimerkkejä ja vaikeampia esimerkkejä. Derivoinnin käänteisprosessi on integrointi.

Mikä on derivaatta

Ennen kuin päästään derivaatan määritelmään, sanotaan, mitä derivaatalla oikeastaan lasketaan ja mihin siitä voi olla hyötyä.

Funktion derivaatalla saadaan tangentin kulmakerroin. Se on varmaan aika monta rumaa sanaa kerralla, joten aloitetaan alusta. Yksinkertaisesti sanottuna tangentti (tangenttisuora) on suora, joka sivuaa annettua kuvaajaa täsmälleen yhdessä pisteessä. Tämä ei ole tarkka määritelmä – sen voit lukea vaikkapa Wikipediasta – mutta suunnilleen riittää. Katso seuraavaa kuvaa:

Musta käyrä on funktion y = x² kuvaaja. Sininen suora on tämän funktion tangentti pisteessä D = (1, 1), joka on merkitty punaisella. Vihreällä on merkitty kulma α, jonka tangentti muodostaa x-akselin kanssa – tarkemmin sanottuna positiivisen x-akselin kanssa. Määritellään nyt tangentin kulmakertoimen käsite. Tangentin kulmakerroin on tässä kuvassa kulman alfa tangentti. Tangenttifunktio on klassinen trigonometrinen funktio, jonka avulla voidaan esimerkiksi laskea kulmia ja sivujen pituuksia kolmiossa. Tangentin kulmakerroin on siis sen kulman tangentti, jonka tangenttisuora muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Ja tämä kulmakerroin saadaan juuri derivaatan avulla.

Lisäksi erotetaan toisistaan käsitteet funktion derivaatta pisteessä ja derivaattafunktio. Funktion derivaatta pisteessä on juuri tangentin kulmakerroin annetussa pisteessä. Derivaattafunktio on sitten toinen funktio, joka määrää kulmakertoimet yleiselle argumentille x. Esimerkki seuraa.

Motivaatio

Derivaatan avulla osataan siis laskea tangenttien kulmakertoimia. Mihin siitä voi olla hyötyä? Katso seuraavaa kuvaa:

Kuvassa on jälleen funktio y = x² ja neljä merkittyä tangenttia. Kaksi vihreää ja kaksi sinistä. Huomaa, että funktio y = x² on välillä ]−∞, 0[ aidosti vähenevä, kun taas välillä ]0, ∞[ se on aidosti kasvava. Mutta mikä pätee samalla niiden tangenteille, tarkemmin sanottuna kulmalle, jonka ne muodostavat positiivisen akselin kanssa? Siniset tangentit, eli tangentit, jotka kulkevat sellaisten pisteiden kautta, jotka kuuluvat välille, jolla funktio kasvaa, muodostavat akselin kanssa alle 90 asteen kulman. Vihreät tangentit taas muodostavat akselin kanssa kulman, joka on suurempi kuin 90 astetta. Miten tämä näkyy tangenttien kulmakertoimissa?

Siihen tarvitaan tangenttifunktion käyttäytymisen tuntemista. Seuraavasta kuvaajasta nähdään, että jos kulman suuruus on alle 90 astetta, tangenttifunktion arvo on positiivinen (sinisellä korostettu osa); jos taas kulma on yli 90 astetta mutta alle 180 astetta (eli alle pii radiaania), tangenttifunktion arvo on negatiivinen. Mikä johtopäätös voidaan tehdä? Jos tangentin kulmakerroin (muista, että kulmakerroin on juuri kulman tangentti) on annetussa pisteessä positiivinen, funktio on tässä pisteessä aidosti kasvava, ja jos se on negatiivinen, funktio on aidosti vähenevä.

Määritelmä

Ennen varsinaista derivaatan määritelmää on kuljettava pitkä matka. Siihen tarvitaan funktion raja-arvoa. Jos raja-arvot eivät ole hallussa, palaa niihin tai hyppää suoraan kaavoihin – seuraava jutustelu ei luultavasti ole sinua varten.

Ennen kuin siirrytään itse tangentin kulmakertoimeen, pysähdytään sekantin kulmakertoimen kohdalle, mikä on helpompaa. Sekantti on suora, joka leikkaa kuvaajan kahdessa pisteessä. Johdetaan nyt, miten tämä kulmakerroin laskettaisiin. Katso kuvaa:

Kuvassa on funktion x² + 1 kuvaaja ja sekantti s, joka leikkaa kuvaajan kahdessa pisteessä (0,5; 1,25) ja (2, 5). Nämä pisteet on korostettu sinisellä. Koska konkreettiset arvot eivät kiinnosta kovin paljon, kuvaajaan nämä arvot on merkitty yleisesti a ja b sekä f(a) ja f(b). Tässä f(a) on funktion f arvo pisteessä x = a. Eli pätee: funktion x² + 1 arvo pisteessä x = 2 on 2² + 1 = 5.

Nyt on tarkoitus johtaa, miten lasketaan kulma, joka on merkitty alfaksi, eli kulma, jonka sekantti muodostaa x-akselin kanssa. Muokataan kuvaa ensin hieman, jotta siihen saadaan kolmio; sen kanssa on helpompi työskennellä.

Mitä tehtiin? Yhdistettiin janalla pisteet, joissa sekantti leikkasi funktion y = x² + 1 kuvaajan, ja täydennettiin ne suorakulmaiseksi kolmioksi ABC. Mitä siitä hyödyttiin? Kulma, joka on merkitty β:ksi, on nimittäin yhtä suuri kuin kulma α (ne ovat samankohtaiset kulmat). Sivujen AB ja BC pituudet kuitenkin tunnetaan. Pätee |AB| = b − a (se on yksinkertaisesti pisteen b etäisyys pisteestä a). Vastaavasti pituus |BC| = f(b) − f(a). Miten nyt lasketaan kulman β eli α suuruus?

On tiedettävä, miten kulman tangentti lasketaan. Kulman tangentti on vastakkaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin, joten kulman alfa (beta) tangentti on sivun BC pituuden suhde sivun AB pituuteen. Kirjoitetaan se näin:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Koska kulmakerroin on kulman tangentti, tällä kaavalla laskettiin sekantin kulmakerroin. Miten tämä auttaa, kun halutaan laskea tangentin kulmakerroin? Kuvitellaan, että pisteitä A ja C tuodaan lähemmäs toisiaan niin kauan, että ne yhtyvät. Lähemmäs tuominen on esitetty kuvassa:

Mitä lähemmäs ylempi leikkauspiste tuodaan alempaa pistettä, sitä lähempänä sekantti on tulla tangentiksi. Alkuperäinen sekantti eli suora CA oli kaukana tangentista. Kun piste C tuodaan lähemmäs pistettä A, saadaan esimerkiksi sekantti C₁A, joka muistuttaa jo enemmän tangenttia. Sekantti C₂A muistuttaa sitä vielä enemmän ja niin edelleen.

Milloin sekantista tulee tangentti? Hetkellä, jolloin molemmat leikkauspisteet yhtyvät yhdeksi, eli kun jollekin pisteelle C_n pätisi C_n = A. Silloin sekantista on tullut tangentti, mitä haluttiin. Kysymys on, miten kulmakerroin lasketaan, koska näitä kahta pistettä ei voi vain vähentää toisistaan, koska ne ovat samat:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Tämä ei onnistu, näin ei voi laskea. Pisteitä ei suotta vain tuotu lähemmäs toisiaan. Tarvitaan nimittäin raja-arvoa. Halutaan nyt laskea tangentin kulmakerroin annetussa pisteessä (a, f(a)), ja käytettävissä ovat kaikkien mahdollisten sekanttien kulmakertoimet (ne osataan jo laskea). Lasketaan siis vähitellen sellaisten sekanttien kulmakertoimia, joita siirretään niin, että niistä syntyy tangentti. Tuodaan siis b lähemmäs arvoa a. Pisteitä ei voi tuoda niin lähelle, että ne ovat yhtä suuret, mutta ne voidaan tuoda niin lähelle, että niiden erotus lähestyy raja-arvona nollaa. Kas, raja-arvo. Tuodaan siis b lähemmäs arvoa a, kunnes ne raja-arvona ovat yhtä suuret. Lasketaan siis raja-arvo, kun b lähestyy arvoa a. Siinä kaikki, kaava näyttää tältä:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Tätä raja-arvoa kutsutaan funktion f(x) derivaataksi pisteessä x = a. Muistutetaan, että kulma α on yhtä suuri kuin kulma β. Yleensä ei käytetä muuttujia a ja b, vaan etsitään derivaattaa pisteessä x₀ ja lähestytään sitä pisteellä x. Voidaan siis kirjoittaa:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Toistaiseksi derivaatta on määritelty yhdessä pisteessä, kuten funktion jatkuvuudessakin. Jos funktio f(x) on derivoituva avoimella välillä I, tämän derivaatan arvot määrittelevät funktion f′(x), jota kutsutaan derivaattafunktioksi.

Derivaattaa merkitään pilkulla yläindeksissä, suunnilleen näin:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Vastaan voi tulla myös toisenlainen merkintätapa, jossa käytetään symbolia dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Äsken käytetyssä kaavassa kulman tangentti voidaan siis korvata derivaatan merkinnällä:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Voidaan määritellä myös toispuoleinen derivaatta oikealta tai vasemmalta toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ei käsitellä nyt, sillä se ei ole kovin tärkeää.

Hieman toisenlainen määritelmä

Toinen funktion derivaatan määritelmä pisteessä näyttää tältä:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Miten tällaiseen määritelmään päädytään? Riittää muokata hieman kuvaa, josta lähdettiin liikkeelle. Pisteen a etäisyys pisteestä b voidaan nimittäin ilmaista muodossa h = b − a. Silloin piste b voidaan kirjoittaa muodossa a + h, koska h on juuri pisteen b etäisyys pisteestä a. Kuva näyttäisi tältä:

Alhaalla on pisteet a ja a + h, ja y-akselilla f(a) ja f(a + h). Nyt muodostetaan jälleen kolmio ja lasketaan kulman beta tangentti. Ero on vain siinä, että sivun AB pituus on jo laskettu, se on juuri h.

Äärellinen ja ääretön derivaatta

Myös derivaatat voivat olla äärellisiä tai äärettömiä, kuten funktioiden raja-arvoista. Mitä se tarkoittaa? Derivaatta on äärellinen, jos derivaatan arvo pisteessä on jokin reaaliluku. Derivaatta on ääretön, jos se on plus tai miinus ääretön. Miten tämä kuvitellaan geometrisesti? Milloin kulmakerroin on ”ääretön”? Aloitetaan helpommasta kysymyksestä – millainen on tangentti, jonka kulmakerroin on jokin suuri luku? Tangenttifunktion kuvaajasta (katso yllä) nähdään, että jos tangenttifunktion arvo on suuri, kulma lähestyy 90 astetta (kun liikutaan välillä ]0, 180[).

Tästä voisi päätellä, että jos funktiolla on annetussa pisteessä ääretön derivaatta, tangentti muodostaa x-akselin kanssa suoran kulman eli on sitä vasten kohtisuorassa. Ja niinhän se onkin. Miltä tällaisen funktion kuvaaja voisi näyttää ja missä pisteessä tangentti olisi kohtisuorassa x-akseliin nähden? Vaikkapa funktio $y=\sqrt[3]{x}$:

Perusominaisuudet

• Jotta funktiolla olisi pisteessä derivaatta, sen on oltava määritelty jossakin tämän pisteen epsilon-ympäristössä. Jos tällaista ympäristöä ei olisi, raja-arvoja, joiden kautta derivaatta määritellään, ei voitaisi laskea.

• Raja-arvon yksikäsitteisyydestä seuraa, että jos pisteessä on derivaatta, se on vain yksi. Millään funktiolla ei ole yhdessä pisteessä useita derivaattoja. Joko yksi tai ei yhtään.

• Kuten toispuoleisten raja-arvojen kohdalla, jos funktiolla on pisteessä derivaatta, vasemmanpuoleisen ja oikeanpuoleisen derivaatan on oltava yhtä suuret.

• Joskus tarvitaan niin sanottua toista derivaattaa. Se ei ole mitään monimutkaista: funktio derivoidaan kerran ja sitten tulos derivoidaan vielä toisen kerran. Merkitään kahdella pilkulla: f''(x) = (f'(x))'.

• Tärkeä ominaisuus: jos funktiolla on pisteessä derivaatta, funktio on tässä pisteessä jatkuva. Se seuraa jälleen raja-arvojen ominaisuuksista. Huomaa, ettei tämä päde toisin päin. Jos funktio on annetussa pisteessä jatkuva, se ei tarkoita, että se on siinä derivoituva. Tyypillinen esimerkki on funktio f(x) = |x|. Kuvaaja on teräväkärkinen, eikä tangentin kulmakerrointa voi laskea tässä kärjessä. Voit kokeilla laskea derivaatan vasemmalta ja oikealta, ne ovat eri suuret.

  

• Derivaattojen avulla voidaan laskea myös joitakin raja-arvoja; siihen käytetään l’Hospitalin sääntöä.

Linkit

Viereisestä artikkelista löytyy luettelo derivaattojen kaavoista. Joitakin muita kaavoja löytyy Wikipediasta.

Voit myös tutustua ratkaistuihin derivaattaesimerkkeihin ja sen jälkeen tarvittaessa vaikeampiin derivaattaesimerkkeihin.

Jos tarvitset derivaatan laskun nopeaan tarkistukseen, voit käyttää jotakin matemaattista työkalua, kuten Wolfram|Alphaa. Riittää kirjoittaa sen syöttökenttään esimerkiksi ”derive x^2+6x”, ja Wolfram laskee annetun funktion derivaatan.