Murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku

Murtoluvulla voi kirjoittaa minkä tahansa rationaaliluvun. Murtoluku koostuu kahdesta osasta. Ylempää osaa kutsutaan osoittajaksi ja alempaa nimittäjäksi. On olemassa myös kaksoismurtoluku, joka ei ole mitään muuta kuin murtoluku, jonka osoittajassa tai nimittäjässä on toinen murtoluku. Ja muuten kaikki murtolukujen väliset merkit (plus, miinus, yhtäsuuruusmerkki jne.) kirjoitetaan aina murtoviivan tasolle, ei osoittajan eikä nimittäjän tasolle. Ja tiesitkö muuten, että viidellä neljästä ihmisestä on vaikeuksia murtolukujen kanssa?

Perustiedot

Murtoluvun muoto on seuraava:

$$\frac{\text{osoittaja}}{\text{nimittäjä}}$$

Esimerkki murtoluvusta on vaikkapa murtoluku

$$\frac{2}{5},$$

eli kaksi viidesosaa. Nimittäjää kutsutaan nimittäjäksi, koska se nimeää murtoluvun. Viidesosa, kolmasosa, kuudesosa… se on murtoluvun pääasiallinen nimi, ja se johdetaan luvusta, joka on murtoviivan alla. Osoittaja sen sijaan kertoo lukumäärän, edellisessä esimerkissä ne olivat kaksi viidesosaa. Tähän asti nimistä.

Osoittajassa ja nimittäjässä voi periaatteessa olla mikä tahansa luku tai taas murtoluku, mutta useimmiten kohtaamme murtoluvun, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat molemmat luonnollisia lukuja.

Murtoluku on vain toisin kirjoitettu jakolasku, ja murtoluvun arvo lasketaan jakamalla osoittaja nimittäjällä. Yleisesti siis jos meillä on murtoluku $\frac{a}{b}$, murtoluvun arvo on luku a/b. Edellisen murtoluvun (kaksi viidesosaa) arvo olisi siis 2/5, eli 0,4.

Sievimpään muotoon muuttaminen

Murtolukujen kanssa voi tehdä monenlaista ja muuttaa niiden muotoa — laventaa ja supistaa — ilman että murtoluvun arvo muuttuu lainkaan. Sen voi helposti kuvitella myös sanallisesti: esimerkiksi yksi toinen on arvoltaan sama kuin kaksi neljäsosaa tai neljä kahdeksasosaa. Se johtuu siitä, että murtoluku on vain naamioitu jakolasku. Ja lukuun yksi toinen voi päästä jakamalla monia eri lukuja. Neljä jaettuna kahdeksalla on yksi toinen. Kymmenen jaettuna kahdellakymmenellä on myös yksi toinen. Siksi murtoluvuilla

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

on sama arvo.

Kuten näkyy, muihin samanarvoisiin murtolukuihin pääsimme kertomalla alkuperäisen murtoluvun 1/2 sekä osoittajan että nimittäjän kahdella. Kertomisen jälkeen saatiin murtoluku 2/4, kaksi neljäsosaa. Jos kerromme tämänkin murtoluvun osoittajan ja nimittäjän kahdella, saamme murtoluvun 4/8, neljä kahdeksasosaa. Tässä vaiheessa lavensimme murtolukua.

Laventamisen käänteistoimitus on murtolukujen supistaminen, jossa osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Jos haluamme supistaa murtolukua, meidän on löydettävä luku, jolla sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia ilman jakojäännöstä. Murtolukujen supistamista käytetään käytännössä hyvin usein, koska supistamalla murtoluku yksinkertaistuu huomattavasti ja sillä on helpompi laskea. Jos meillä olisi murtoluku 12/18, huomaamme pikaisella vilkaisulla, että molemmat luvut ovat parillisia, siis jaollisia kahdella. Voisimme tietysti supistaa murtoluvun kahdella, mutta jo toisella silmäyksellä huomaa, että sekä osoittaja että nimittäjä on jaollinen myös kuudella. Jos supistamme murtoluvun kuudella, syntyy yksinkertaisempi murtoluku kuin jos supistaisimme vain kahdella. Siksi supistamme murtoluvun kuudella. Tulokseksi saadaan murtoluku 2/3.

Tätä murtolukua ei voi enää supistaa, ei ole lukua (suurempaa kuin yksi), jolla voisimme jakaa sekä osoittajan että nimittäjän ilman jakojäännöstä. Murtolukua, jota ei voi enää supistaa, sanotaan sievimmässä muodossa olevaksi. Pyri aina laskemaan sievimmässä muodossa olevilla murtoluvuilla: kun lasket murtoluvuilla, katso ensin, voiko jotakin murtolukua supistaa. Säästät aikaa. Vielä yksi esimerkki:

$$\frac{24}{42}$$

Millä luvulla sekä 24 että 42 ovat jaollisia? Ne ovat molemmat parillisia, joten varmasti kahdella. Jaetaan sekä osoittaja että nimittäjä kahdella:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Onko olemassa jokin luku, joka jakaa molemmat luvut? On, tällä kertaa kolme.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Onko vielä jokin luku, joka jakaa osoittajan ja nimittäjän? Ei ole, murtoluku on sievimmässä muodossa.

Murtolukujen kertolasku

Saatat ihmetellä, mutta kertolasku ja jakolasku ovat murtoluvuilla helpompia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Kun sinun pitää kertoa kaksi murtolukua, kerrot yksinkertaisesti ensimmäisen murtoluvun osoittajan toisen murtoluvun osoittajalla ja nimittäjän nimittäjällä. Siinä kaikki. Esimerkki murtolukujen kertolaskusta:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Murtolukuja kerrottaessa on lisäksi toinenkin supistamistapa. Supistaa ei tarvitse vain yhden murtoluvun sisällä, vaan voit supistaa ristiin. Jos ensimmäisen murtoluvun osoittajan ja toisen murtoluvun nimittäjän voi supistaa keskenään, voit tehdä sen ja yksinkertaistaa kertolaskua. Esimerkki (supistettavat luvut on korostettu):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Mitä teimme? Jaoimme sekä neljän että kahdeksan neljällä. Tulon arvo pysyi ennallaan. Jos emme olisi supistaneet nyt, olisimme voineet supistaa vasta kertomisen jälkeen.

Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla muutetaan yksinkertaisesti kahden murtoluvun kertolaskuksi kirjoittamalla kokonaisluku c muotoon c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Kuten näkyy, jos kerrot murtoluvun kokonaisluvulla, riittää kertoa murtoluvun osoittaja tällä luvulla.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Murtolukujen jakolasku

Murtolukujen jakolasku on käytännössä samanlainen kuin kertolasku. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, käännä toinen murtoluku (jakaja) ympäri ja kerro murtoluvut normaalisti. Yksinkertainen esimerkki murtolukujen jakolaskusta (huomaa, että murtoluvun kääntämisen jälkeen voidaan supistaa 12 ja 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Muutimme jakolaskun kertolaskuksi niin, että käänsimme murtoluvun $\frac{6}{11}$ murtoluvuksi $\frac{11}{6}$ ja kerroimme sillä toisen muuttumattoman murtoluvun. Miksi se toimii näin? Riittää kuvitella se jollakin yksinkertaisemmalla esimerkillä, vaikkapa jakamisella yhdellä toisella. Kun jaamme

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

mitä oikeastaan teemme? Selvitämme, montako kertaa yksi toinen mahtuu lukuun kymmenen. Jokaiseen ykköseen puolikas mahtuu tasan kaksi kertaa (kaksi kertaa yksi toinen on yksi), joten kymmeneen sitä mahtuu kaksikymmentä kertaa. Samaan tulokseen päädymme, kun kerromme kaksi kertaa kymmenen — sekin on kaksikymmentä. Ja minkä arvon saamme, kun käännämme yhden toisen ympäri? Kaksi kokonaista, eli kaksi.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Tulokseksi saadaan siis:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Murtolukujen yhteenlasku

Murtolukujen yhteenlasku on jo hieman monimutkaisempaa. Murtolukuja voi nimittäin laskea yhteen vain, jos niillä on sama pohja eli sama nimittäjä. Jos murtoluvuilla ei ole samaa nimittäjää, ne on muutettava samannimisiksi. Sen jälkeen edetään yksinkertaisesti kuten kertolaskussa: lasketaan yhteen ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja toisen murtoluvun osoittaja. Kertolaskuun verrattuna nimittäjä kuitenkin pidetään samana. Ensin esimerkki samannimisten murtolukujen yhteenlaskusta:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Onko siinä järkeä? Yksi toinen plus viisi toista on kuusi toista — siinä on aika paljon järkeä.

Jos murtoluvuilla ei ole samaa pohjaa, mikä on yleisempi tapaus, murtoluvut on muutettava samalle pohjalle, mikä tarkoittaa yhden tai molempien murtolukujen laventamista niin, että saamme saman nimittäjän. Lasketaan yhteen nämä kaksi murtolukua:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on kolme, toisen kaksi. Tässä vaiheessa niitä on vaikea laskea yhteen, mutta jos laventaa ensimmäisen murtoluvun kahdella, sen nimittäjäksi tulee kuusi, ja jos laventaa toisen murtoluvun kolmella, sen nimittäjäksi tulee myös kuusi. Nyt molemmilla murtoluvuilla on sama pohja ja ne voi laskea yksinkertaisesti yhteen. Siis ensimmäisessä vaiheessa laventamme murtoluvut niin, että niillä on sama nimittäjä:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Ja nyt lasketaan vain osoittajat yhteen ja nimittäjä pidetään samana:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Huomaa, että yhteenlaskussa ei voi supistaa murtolukujen yli kuten kertolaskussa. Esimerkiksi muokkauksen jälkeen ensimmäisen murtoluvun nimittäjässä oli kuusi ja toisen murtoluvun osoittajassa viisitoista. Silti emme voi supistaa kolmella:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Näin voisimme supistaa vain, jos kertoisimme nämä murtoluvut keskenään:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Miten kaksi murtolukua yleisesti muutetaan samannimisiksi? Ensimmäinen murtoluku lavennetaan toisen murtoluvun nimittäjällä ja toinen murtoluku ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. Yleisesti sen voi kirjoittaa näin:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Ensimmäinen murtoluku lavennettiin lausekkeella d, joka on toisen murtoluvun nimittäjä. Toinen murtoluku lavennettiin lausekkeella b, joka on ensimmäisen murtoluvun nimittäjä. Konkreettinen esimerkki:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Ensimmäinen murtoluku lavennettiin kahdeksalla, toinen neljällä. Tämän jälkeen murtoluvut voi jo laskea yhteen.

Murtolukujen yhteenlaskun yleinen kaava olisi sitten tämä:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Murtolukujen vähennyslasku

Murtolukujen vähennyslasku toimii aivan samoin kuin yhteenlasku, ainoastaan tuloksena olevia osoittajia ei lasketa yhteen vaan vähennetään. Muutamme siis edellisen yhteenlaskun yleisen kaavan näin:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Konkreettinen esimerkki; ensin muutetaan samannimisiksi:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Ja nyt vain vähennetään osoittajat ja nimittäjä pidetään samana:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Ristiinkertominen

Yhtälöissä voi käyttää ristiinkertomista, joka yksinkertaistaa kahden murtoluvun välistä yhtälöä. Käytännössä kyse ei ole mistään muusta kuin kahdesta yhtäpitävästä muunnoksesta. Olkoon siis yhtälö, jossa on kaksi murtolukua

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Tämän yhtälön voi muokata kertomalla se ensin ensimmäisen ja sitten toisen murtoluvun nimittäjällä. Ensin kerrotaan yhtälö ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä eli lausekkeella b. Saamme

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Sen jälkeen yhtälö kerrotaan lausekkeella d ja saamme

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Ensimmäisessä murtoluvussa supistetaan b ja toisessa d. Tuloksena on yhtälö

$$ad=bc.$$

Tätä voi siis pitää kaavana: jos meillä on yhtälö kahden murtoluvun muodossa, ne voi muuttaa näin:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Seuraavassa esimerkki. Ensimmäisessä vaiheessa kirjoitetaan murtoluvut auki edellisen kaavan mukaan ja toisessa vaiheessa vain muokataan hieman lausekkeita molemmilla puolilla.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Tästä yhtälö laskettaisiin edelleen tavallisena toisen asteen yhtälönä, mutta se ei enää kuulu tämän artikkelin aiheeseen.

Aiheeseen liittyvää

Murtolukuja tulee usein vastaan lausekkeita sievennettäessä, aiheesta kertoo artikkeli rationaalilausekkeet. Erityisesti on olemassa algoritmi polynomien jakolaskulle polynomilla.