Обем на пирамида

Пирамидата е тяло, което познаваш от египетските пирамиди. Долу има основа, най-често квадрат, а от ръбовете ѝ се издигат триъгълни стени, които горе се събират в една точка, във върха. Обемът на пирамидата подсказва колко пясък би се побрал в такава пирамида, ако беше куха.

В червено е оцветена основата, лицето ѝ ще означаваме с B. В синьо е означена височината на пирамидата h, разстоянието от върха до основата. Височината пада перпендикулярно на основата, така че не я мерим по наклонената стена, а отвесно надолу от върха.

Формула за обема на пирамида

Ако търсиш само формулата, обемът V на пирамида, чиято основа има лице B и която има височина h, се изчислява като

$$V=\frac{1}{3}\cdot B\cdot h$$

Най-обичайна е правилната четириъгълна пирамида, тоест пирамида с квадратна основа със страна a. Лицето на основата е тогава лицето на квадрат B = a² и формулата изглежда така:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

Например пирамида със страна на основата a = 6 и височина h = 5 има обем

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Защо има една трета?

Без тази една трета формулата B · h би давала обема на призма със същата основа и същата височина. Пирамидата е следователно една трета от призмата. Защо точно една трета, може да се покаже нагледно с куба.

Нека имаме куб с ръб a и в него един връх, на чертежа оранжев. От него сега опъваме пирамиди към трите стени на куба, които не опират до оранжевия връх: към долната, към задната и към дясната. Получават се три пирамиди, червена, синя и зелена. Заедно те изпълват целия куб, не остава място и нито едно място не се припокрива:

И трите пирамиди са еднакви, само че всяка е разположена по друг начин. Всяка има за основа една стена на куба, тоест квадрат с лице a², и всяка има височина a, защото върхът ѝ е отдалечен от срещуположната стена на разстояние, равно точно на ръба на куба. Обемът на куба е a³ и се разделя поравно между трите пирамиди, така че всяка има обем

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot B\cdot h$$

А това е точно нашата формула.

Кубът е, разбира се, само един частен случай, но третината важи и другаде. Когато разтеглим куба на височина или на ширина, от него става правоъгълен паралелепипед и по същия начин се разтеглят и трите пирамиди, всяка от тях все така е една трета от паралелепипеда. А когато наклоним пирамидата, обемът ѝ не се променя. Нека си я представим съставена от тънки плочки, като комин от все по-малки квадратчета. Когато плочките се изместят настрани, получава се наклонена пирамида, но плочките са все същите и заемат същото пространство. Този трик се нарича принцип на Кавалиери. Работи и за пирамиди с различно оформена основа: ако две пирамиди имат основи с еднакво лице и еднаква височина, плочките на всяка височина имат еднакво лице, независимо дали основата е квадрат, или триъгълник, и така двете пирамиди имат и еднакъв обем. Затова формулата

$$V=\frac{1}{3}\cdot B\cdot h$$

е в сила за абсолютно всяка пирамида, права и наклонена, с квадратна, правоъгълна и триъгълна основа. Само внимание при наклонената пирамида: височината при нея е все така отвесното разстояние от върха до основата, а не дължината на наклонения ръб.

На същата една трета ще попаднеш и при обема на конус: конусът е една трета от цилиндър със същата основа и височина. Конусът всъщност може да се разглежда като пирамида, която има в основата си вместо квадрат кръг.

Пример: пирамидата на Хеопс

Най-голямата египетска пирамида, тази на Хеопс в Гиза, първоначално е имала квадратна основа със страна около 230 метра и височина около 146 метра. Днес е около осем метра по-ниска, защото ѝ липсват върхът и външната облицовка. Колко камък се е побирал в нея?

Първо основата, това е квадрат със страна 230 метра:

$$B={230}^2=52900$$

Основата заема 52 900 квадратни метра, това са приблизително седем футболни игрища. От това вече можем да пресметнем обема:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52900\cdot 146$$

Умножаваме:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7723400$$

Остава да разделим на три:

$$V\approx 2574467$$

Пирамидата на Хеопс има обем около 2,6 милиона кубични метра. Ако я разглобим и с камъните пълним олимпийски басейни, всеки дълъг 50 метра, широк 25 и дълбок 2, тоест с обем 2500 кубични метра, ще напълним над хиляда от тях.

Забравената третина тук излиза доста скъпо. Който я пропусне, получава над 7,7 милиона кубични метра и в мислите си построява две пирамиди повече.

Когато не знаем височината

Често обаче височината на пирамидата не ни е подръка, затова пък знаем дължината на околния ръб s, това е ръбът, който води от върха на основата до върха на пирамидата. Така е например при истинска постройка: до ръба с метър се стига по-лесно, отколкото до отвесната височина вътре.

Височината h, околният ръб s и половината от диагонала на основата (в червено) образуват правоъгълен триъгълник, на чертежа оцветен в зелено:

Височината пада от върха в центъра на квадрата и разстоянието от центъра до върха на основата е точно половината от диагонала на квадрата. Диагоналът на квадрат със страна a е дълъг $d=a\cdot \sqrt{2}$. Околният ръб s е хипотенузата на триъгълника, така че по Питагоровата теорема е в сила

$$s^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Оттук изразяваме височината:

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Пример: Пред парижкия Лувър стои стъклена пирамида с квадратна основа със страна 35,4 метра и околни ръбове с дължина около 33,1 метра. Колко въздух има вътре?

Започваме с диагонала на основата:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Половината от диагонала е следователно приблизително 25,03 метра. Във формулата за височината това изглежда така:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Повдигаме на квадрат:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

И извличаме корен:

$$h\approx 21,66$$

Пирамидата е висока около 21,66 метра. Съвпада, официално посочената височина е 21,64 метра. Щом знаем височината, пресмятаме обема:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

Вътре в пирамидата има приблизително 9000 кубични метра въздух. В пирамидата на Хеопс биха се побрали почти триста такива пирамиди.

Пирамида с друга основа

Основата на пирамидата не е нужно да е квадрат. Формулата $V=\frac{1}{3}\cdot B\cdot h$ работи за всякаква основа, само че всеки път лицето ѝ B се пресмята по друг начин.

Опитай с трион да отрежеш от дървен паралелепипед ъгъл с наклонен срез, който минава през трите съседни на него върха. Отрязаното парче е триъгълна пирамида: основата ѝ е правоъгълен триъгълник, а височината ѝ е отвесният ръб на паралелепипеда, който стои перпендикулярно на основата.

Да кажем, че катетите на основата са a = 8 cm и b = 6 cm, а височината е h = 9 cm. Първо намираме лицето на триъгълника в основата. При правоъгълен триъгълник е достатъчно да умножим катетите и да разделим на две:

$$B=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Лицето на основата имаме, така че обемът излиза:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

От паралелепипеда отрязахме 72 кубични сантиметра дърво.

За всеки случай ще проверим резултата. Тази пирамида може да се постави и върху друга стена: лявата стена също е правоъгълен триъгълник, този път с катети b = 6 cm и h = 9 cm, и перпендикулярно на нея стои ръбът a с дължина 8 cm, който сега е височина. Лицето на основата е $\frac{6\cdot 9}{2}=27$ и обемът е

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Съвпада. Пирамидата е все същата, само че лежи по друг начин, и затова трябва да излезе същият обем.

Калкулатор

Обема на правилна четириъгълна пирамида можеш да пресметнеш и тук. Достатъчно е да въведеш страната на основата и височината, мерните единици можеш да превключиш при всяко поле.

Виж също

• Обем на призма
• Обем на конус
• Лице на повърхнина на пирамида