Máy tính thời gian tiền tăng gấp đôi

Tiền gửi lấy lãi tăng theo lãi kép, nên năm sau tăng thêm nhiều hơn năm trước. Với lãi suất 6%/năm, 100 triệu đồng trở thành 200 triệu đồng sau khoảng 11,9 năm. Dân ngân hàng ước lượng nhẩm điều này bằng quy tắc 72: lấy 72 chia cho lãi suất tính theo phần trăm, 72:6 = 12 năm. Ước lượng này chính xác đến bất ngờ.

Quy tắc cũng dùng được theo chiều ngược lại. Với lạm phát 6%/năm, tiền mất một nửa giá trị cũng sau khoảng 12 năm.

Máy tính giả sử lãi được nhập vào gốc mỗi năm một lần.

Cách tính

Thời gian chính xác và ước lượng theo quy tắc 72 cho bởi các công thức

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\approx \frac{72}{p}$$

Ở đây p là lãi suất năm tính theo phần trăm và n là số năm.

Sau n năm, số tiền gửi được nhân với 1,06ⁿ. Ta muốn số này bằng 2:

$$1,{06}^n=2$$

Lấy lôgarit hai vế rồi chia:

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1,06}=\frac{\mathrm{0,693}1}{\mathrm{0,058}3}\approx 11,9$$

Quy tắc 72 cho 12 năm, tức là chỉ nhiều hơn chưa đến một tháng rưỡi. Quy tắc này dùng được vì với lãi suất nhỏ, ln(1 + x) gần như đúng bằng x, và 100 · ln 2 ≈ 69,3. Người ta lấy 72 thay cho 69 vì 72 chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8, 9 và 12, hơn nữa còn bù bớt sai số với các lãi suất thường gặp quanh 8%. Khi lãi suất rất thấp hoặc rất cao, quy tắc bắt đầu lệch: với 1% sai khoảng 3%, với 30% đã sai tới 9%.