Lãi kép

Ta tính lãi kép khi phải tính lãi nhiều lần liên tiếp. Chẳng hạn nếu một khoản nợ được tính lãi mỗi năm một lần và ta nợ trong 5 năm thì khoản nợ được tính lãi 5 lần; khi đó ta nói về lãi kép.

Lãi kép

Khi số tiền nợ được tính lãi nhiều lần, ta nói về lãi kép. Trong công thức trước ta dùng phần trăm, còn ở công thức sau sẽ đơn giản hơn nếu đổi phần trăm thành số thập phân thông thường. Cách đổi rất đơn giản: chia số phần trăm cho 100. Nếu lãi suất là 50% thì ta được 0,5, tức là một phần hai. Nếu lãi suất là 7% thì ta được 0,07. Ta kí hiệu số thập phân này bằng chữ “d”. Công thức có thể viết như sau:

$$d=\frac{\text{lãi suất}}{100}$$

Nhân số tiền nợ với số này, ta được ngay tiền lãi. Giả sử chú Hùng cho ta vay 2 tỉ đồng với lãi suất 10%/năm, tức là 0,1 ở dạng số thập phân. Sau 1 năm tiền lãi là 2.000.000.000 · 0,1 = 200.000.000. Nghĩa là ta phải trả thêm 200 triệu đồng so với số tiền đã vay. Năm tiếp theo tiền lãi là bao nhiêu? Ta lấy số tiền ban đầu, cộng tiền lãi lần thứ nhất rồi lại nhân với 0,1:

$$(2.000.000.000+200.000.000)\cdot 0,1=220.000.000$$

Năm sau đó ta đã phải trả 220 triệu đồng tiền lãi, nhiều hơn năm thứ nhất.

Nếu muốn tính ngay số tiền nợ chứ không chỉ tiền lãi, chỉ cần cộng 1 vào lãi suất ở dạng số thập phân rồi nhân số tiền nợ với biểu thức đó:

$$2.000.000.000\cdot 1,1=2.200.000.000$$

Sau năm thứ nhất ta nợ 2,2 tỉ đồng. Muốn tính số tiền nợ sau 3 năm, ta nhân với 1,1 nhiều lần liên tiếp:

$$((2.000.000.000\cdot 1,1)\cdot 1,1)\cdot 1,1=2.662.000.000$$

Từ đây công thức dần hiện ra: với phép nhân, thứ tự và dấu ngoặc không quan trọng, nên có thể viết lại biểu thức như sau:

$$2.000.000.000\cdot (1,1\cdot 1,1\cdot 1,1)$$

Rồi viết lại bằng luỹ thừa:

$$2.000.000.000\cdot 1,1^3$$

Từ đây dễ dàng suy ra công thức tổng quát.

Công thức lãi kép

Dưới đây là công thức lãi kép, phần sau sẽ giải thích:

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t$$

Chữ “j” chỉ tiền gốc, tức là số tiền nợ. Chỉ số dưới cho biết đã qua bao nhiêu lần tính lãi. Như vậy j₀ là số tiền chưa qua lần tính lãi nào: đó là số tiền ta nhận được lúc đầu (2 tỉ đồng của chú Hùng). Chữ “t” là số lần tính lãi mà ta muốn tính. Nếu muốn tính cho 10 năm tới thì t = 10. Còn j_t là số tiền nợ sau t lần tính lãi. Chữ “d” là lãi suất viết dưới dạng số thập phân (xem ở trên).

Ta thử tính xem sẽ phải trả bao nhiêu nếu đến 15 năm sau mới trả toàn bộ số tiền cho chú Hùng:

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t=2.000.000.000\cdot (1+0,1{)}^{15}\approx 8.354.496.339$$

Lưu ý rằng đây chưa phải là tiền lãi mà là số tiền nợ cuối cùng. Nếu chỉ muốn biết tiền lãi, ta phải trừ đi số tiền nợ ban đầu, tức là trừ thêm 2 tỉ đồng: 6.354.496.339 đồng.

Ví dụ

Nam muốn mua một chiếc ô tô mới nhưng tất nhiên không đủ tiền, nên vay 500 triệu đồng. Lãi suất là 8% và tiền lãi được tính mỗi năm một lần. Nam tiêu xài hoang phí, nên năm thứ nhất chỉ trả được 20 triệu đồng. Số tiền nợ giảm xuống còn 480 triệu đồng. Nhưng đến cuối năm, tiền lãi tính ra là 480.000.000 · 0,08 = 38.400.000. Đến đầu năm mới Nam đã nợ 480.000.000 + 38.400.000 = 518.400.000 đồng. Nhiều hơn lúc đầu.

Nam chẳng lo lắng gì và lại chỉ trả 20 triệu đồng. Nam còn nợ 498,4 triệu đồng. Sau khi tính lãi, số nợ tăng lên 538.272.000 đồng. Số tiền nợ cao hơn cả năm ngoái lẫn năm kia. Nam vẫn không nhận ra điều đó và tiếp tục mỗi năm chỉ trả 20 triệu đồng. Nam trả nợ cả đời mà cuối cùng vẫn mang khoản nợ nhiều tỉ đồng. Tốt nhất đừng làm như vậy.

Đọc thêm

Lãi kép liên quan chặt chẽ đến số e. Đừng quên đọc bài nguồn gốc của số e. Và bạn sẽ cần đến lãi kép nếu muốn biết cách tính lãi vay mua nhà.