돈이 두 배가 되는 시간 계산기

이자가 붙는 돈은 복리로 불어나므로 해마다 늘어나는 금액이 전해보다 커진다. 연 6%이면 1,000만 원이 2,000만 원이 되는 데 약 11.9년이 걸린다. 은행원들은 이를 72의 법칙으로 암산한다. 72를 퍼센트로 나타낸 이율로 나누면 $72÷6=12$년이다. 이 어림값은 놀랄 만큼 정확하다.

거꾸로도 마찬가지이다. 물가 상승률이 연 6%이면 돈의 가치도 약 12년 만에 절반으로 줄어든다.

계산기는 이자가 1년에 한 번 붙는다고 보고 계산한다.

계산 방법

정확한 기간과 72의 법칙에 따른 어림값은 다음 공식으로 구한다.

$$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}n\fallingdotseq \frac{72}{p}$$

여기서 p는 퍼센트로 나타낸 연이율, n은 햇수이다.

n년 뒤 원금은 1.06ⁿ배가 된다. 이 값이 2가 되어야 한다.

$${1.06}^n=2$$

양변에 로그를 취하고 나누면 다음과 같다.

$$n=\frac{\ln 2}{\ln 1.06}=\frac{0.6931}{0.0583}\fallingdotseq 11.9$$

72의 법칙으로는 12년이 나오므로 차이는 한 달 반도 되지 않는다. 이 법칙이 통하는 것은 이율이 작을 때 ln(1 + x)가 x와 거의 같고 $100\cdot \ln 2\fallingdotseq 69.3$이기 때문이다. 69 대신 72를 쓰는 것은 72가 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12로 모두 나누어떨어지고, 흔히 보는 8% 안팎의 이율에서 생기는 오차도 조금 메워 주기 때문이다. 이율이 아주 낮거나 아주 높으면 이 법칙은 빗나간다. 1%에서는 약 3%, 30%에서는 약 9% 틀린다.