Định luật Benford

Năm 1881, nhà thiên văn học người Mỹ Simon Newcomb để ý thấy một điều lạ ở các bảng lôgarit. Những trang đầu, nơi có các số bắt đầu bằng chữ số 1, sờn cũ hơn hẳn các trang sau. Nhưng tại sao người ta lại tra các số bắt đầu bằng chữ số 1 thường xuyên hơn các số bắt đầu bằng chữ số 8 hay 9? Newcomb viết một bài báo ngắn về điều này. Không ai để ý đến bài báo ấy.

57 năm trôi qua. Năm 1938, nhà vật lí Frank Benford ở hãng General Electric độc lập nhận thấy điều tương tự. Và ông không bỏ qua. Ông thu thập hơn 20.000 số từ 20 lĩnh vực khác nhau: diện tích lưu vực sông, hằng số vật lí, tỉ lệ tử vong, các số trong bài báo, thống kê bóng chày… Những con số hoàn toàn không liên quan gì đến nhau.

Ở đầu một số có thể là 1 trong 9 chữ số khác nhau, từ 1 đến 9 (chữ số 0 không đứng đầu). Vì vậy ta dễ nghĩ rằng mỗi chữ số đứng đầu với tần suất như nhau, khoảng 11% trường hợp. Nhưng không phải vậy. Khi Benford tổng hợp tất cả, chữ số 1 đứng đầu khoảng 30% các số. Chữ số càng lớn thì càng ít khi đứng đầu, và chỉ chưa đến 5% các số bắt đầu bằng chữ số 9. Hiện tượng này ngày nay gọi là định luật Benford, đôi khi còn gọi là định luật Newcomb – Benford.

Vì sao lại là chữ số 1

Hãy hình dung một xã có 100 người, mỗi năm dân số tăng 10%. Sau mỗi năm, xã có (làm tròn) 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… người. Để tăng từ 100 lên 200, dân số phải tăng 100%, và việc đó mất 8 năm. Sau 7 năm xã có 195 người, sang năm thứ 8 đã hơn 200.

Từ 200 lên 300 chỉ cần tăng 50%, còn từ 800 lên 900 chỉ cần tăng 12,5%. Chữ số đầu càng lớn thì xã vượt qua nó càng nhanh. Trên cả chặng đường từ 100 lên 1.000 người, kéo dài 25 năm, dân số bắt đầu bằng chữ số 1 trong 8 năm, bằng chữ số 2 trong 4 năm, bằng chữ số 3 trong 3 năm, còn các chữ số khác chỉ 1 hoặc 2 năm. Chữ số 9 chỉ đứng đầu trong 1 năm, khi xã có 985 người, và ngay năm sau đã hơn 1.000 người. 8 năm trong 25 năm là 32%, gần với con số 30% kia. Các số tăng theo cùng một tỉ lệ phần trăm sẽ ở lâu nhất với chữ số 1 đứng đầu.

Điều thú vị là đơn vị đo không quan trọng. Nếu đổi chiều dài các con sông từ kilômét sang dặm thì mọi con số đều thay đổi. Nhưng nếu chiều dài các con sông tuân theo định luật Benford thì tính bằng dặm chúng vẫn tuân theo. Tỉ lệ các số bắt đầu bằng chữ số 1 hầu như không đổi.

Mỗi chữ số đứng đầu thường xuyên đến mức nào

Theo định luật Benford, xác suất để một số bắt đầu bằng chữ số d là

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

trong đó log₁₀ là lôgarit thập phân. Trước hết ta thử với chữ số 1, tức là thay d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Cộng trong ngoặc:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx \mathrm{0,301}$$

Như vậy khoảng 30,1% các số bắt đầu bằng chữ số 1. Các chữ số còn lại cho kết quả như sau:

Tổng cộng đúng bằng 100%, như phải thế. Đường nét đứt trên biểu đồ đánh dấu $\frac{1}{9}$, tức là tỉ lệ dành cho mỗi chữ số nếu mọi chữ số đều xuất hiện như nhau.

Đã có công thức thì có thể tiến thêm một bước. Định luật cũng đúng cho 2 chữ số đầu tiên. Chỉ cần thay d trong cùng công thức bằng số có hai chữ số từ 10 đến 99. Như vậy cặp 10 và 11 đứng đầu thường xuyên hơn nhiều so với 98 và 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx \mathrm{0,041}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx \mathrm{0,038}$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx \mathrm{0,004}4$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx \mathrm{0,004}4$$

Một số bắt đầu bằng 10 trong khoảng 4,1% trường hợp và bằng 11 trong 3,8%, còn bằng 98 hoặc 99 chỉ khoảng 0,44%. Và điều này cũng đúng, chẳng hạn, với chiều dài các con sông trên thế giới.

Khi nào định luật đúng và khi nào không

Định luật Benford thường đúng với dữ liệu trải dài qua nhiều bậc độ lớn, từ hàng chục đến hàng triệu, và hình thành do tăng trưởng tự nhiên hoặc do đo đạc. Nhưng ngay cả phạm vi rộng cũng không bảo đảm định luật đúng, vì vậy mới nói “thường”.

Định luật không đúng với dữ liệu có phạm vi hẹp. Chiều cao người trưởng thành nằm trong khoảng từ 150 đến 200 cm, nên gần như luôn bắt đầu bằng chữ số 1. Định luật cũng không đúng với dữ liệu có giới hạn nhân tạo, chẳng hạn số tiền rút ở cây ATM, vốn là bội của 50.000 đồng và có hạn mức tối đa. Và định luật hoàn toàn không áp dụng cho các mã định danh, như số điện thoại hay số căn cước. Chúng không phải là số đếm hay số đo, mà chỉ là những cái tên viết bằng chữ số.

Cách dùng định luật để bắt kẻ gian lận

Người bịa ra các con số thường có xu hướng cho mọi chữ số cơ hội gần như nhau. Vì vậy trong hoá đơn hay sổ sách kế toán bịa đặt, ta thấy ít số bắt đầu bằng chữ số 1 và quá nhiều số bắt đầu bằng các chữ số lớn. Do đó kiểm toán viên và cơ quan thuế dùng định luật này như một chỉ báo cho biết nên xem xét chỗ nào. Trong kế toán điều tra, đây là một công cụ phổ biến.

Tuy vậy, đó không phải là bằng chứng gian lận. Một công ty bán một sản phẩm giá 79.000 đồng sẽ có rất nhiều hoá đơn bắt đầu bằng chữ số 7 nếu khách mua từng chiếc một, mà không ai làm giả gì cả. Sai lệch chỉ cho biết nên xem xét kĩ hơn.

Một nghiên cứu của Bernhard Rauch và cộng sự năm 2011 đã so sánh với định luật Benford các số liệu kinh tế vĩ mô mà các nước Liên minh châu Âu báo cáo cho Eurostat trong những năm 1999–2009 theo quy định về thâm hụt ngân sách. Trong các nước thuộc khu vực đồng euro, số liệu của Hy Lạp lệch khỏi định luật nhiều nhất; đó cũng là nước mà vào thời điểm ấy người ta phát hiện đã làm sai lệch số liệu thâm hụt của mình.

Sau cuộc bầu cử tổng thống Iran năm 2009, mà Mahmoud Ahmadinejad thắng cử, các nhà thống kê đã phân tích số phiếu bầu. Tuy nhiên với bầu cử, chữ số đầu tiên không phù hợp, vì các khu vực bỏ phiếu có quy mô tương tự nhau, nên số phiếu không trải qua đủ nhiều bậc độ lớn. Vì vậy Walter Mebane đã kiểm tra chữ số thứ hai của kết quả ở từng thùng phiếu theo định luật Benford và phát hiện sai lệch ở 3 trong 4 ứng cử viên. Bernd Beber và Alexandra Scacco nghiên cứu chữ số cuối cùng của kết quả ở các tỉnh. Các chữ số này lẽ ra phải phân bố đều, mỗi chữ số khoảng 10% trường hợp, nhưng chữ số 7 chiếm 17%, còn chữ số 5 chỉ 4%. Chính Mebane nhấn mạnh rằng phân tích của ông không chứng minh có gian lận, mà chỉ ủng hộ giả thuyết đó. Trong cả hai trường hợp, đó đều không phải là bằng chứng gian lận.

Hãy tự thử trên dữ liệu của chính bạn, chẳng hạn sao kê tài khoản hay giá trên hoá đơn mua hàng. Còn nếu không có sẵn dữ liệu, hãy lấy các luỹ thừa của 2. Trong 1.000 luỹ thừa đầu tiên, tức là từ 2¹ đến 2¹⁰⁰⁰, có 301 số bắt đầu bằng chữ số 1, và định luật Benford cũng dự đoán 301. Khó mà khớp hơn được nữa.

Xem thêm

• Lôgarit
• Thống kê cơ bản
• Nghịch lí ngày sinh