Xúc xắc không bắc cầu

Hãy tưởng tượng bạn có 3 con xúc xắc 6 mặt, trên các mặt ghi những số tuỳ ý. Có thể xảy ra trường hợp con xúc xắc A thường xuất hiện số lớn hơn con B, con B thường xuất hiện số lớn hơn con C, và con C thường xuất hiện số lớn hơn con A không?

Tính bắc cầu

Tính bắc cầu là một khái niệm của quan hệ hai ngôi. Ta nói quan hệ R trên M có tính bắc cầu nếu với mọi a, b, c ∈ M, từ (a; b) ∈ R và (b; c) ∈ R suy ra (a; c) cũng thuộc R.

Với các con xúc xắc, ta có thể xét quan hệ “là con xúc xắc tốt hơn” theo nghĩa: con xúc xắc A tốt hơn con B nếu con A thường xuất hiện số lớn hơn con B. Khi đó tính bắc cầu có dạng: nếu con xúc xắc A tốt hơn con B và con B tốt hơn con C thì con A cũng phải tốt hơn con C. Điều đó có đúng không?

Ta thử tìm một phản ví dụ, tức là 3 con xúc xắc tốt hơn nhau theo vòng tròn. Con xúc xắc A tốt hơn con B, con B tốt hơn con C và con C tốt hơn con A. Ta luôn chỉ xét xúc xắc 6 mặt.

Ví dụ

Ví dụ là 3 con xúc xắc sau:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Xác suất để con xúc xắc A xuất hiện số lớn hơn con B là bao nhiêu? Có tất cả 36 cặp kết quả khác nhau khi gieo 2 con xúc xắc. Nếu con B xuất hiện mặt có số 1 thứ nhất thì con A luôn xuất hiện số lớn hơn. Tức là có 6 cặp mà con A xuất hiện số lớn hơn. Nếu con B xuất hiện mặt có số 1 thứ hai, ta có thêm 6 cặp mà con A xuất hiện số lớn hơn. Nếu xuất hiện một trong hai mặt số 6 thì con A phải xuất hiện một trong hai mặt số 9. Đó là thêm 4 khả năng. Nếu xuất hiện một trong hai mặt số 8 thì con A phải xuất hiện một trong hai mặt số 9. Lại 4 khả năng. Tổng cộng có 6 + 6 + 4 + 4 = 20 khả năng. Vậy xác suất để con A xuất hiện số lớn hơn là 20/36 = 5/9, khoảng 56%.

Bây giờ đến B với C. Nếu con C xuất hiện một trong hai mặt số 3 thì con B phải xuất hiện một trong hai mặt số 6 hoặc một trong hai mặt số 8. Đó là tất cả 2 · 4 = 8 khả năng. Nếu xuất hiện mặt số 5 thì con B lại phải xuất hiện 6 hoặc 8, nên lại có 8 khả năng. Nếu xuất hiện mặt số 7 thì con B phải xuất hiện mặt số 8, có 4 khả năng. Tổng cộng 8 + 8 + 4 = 20. Xác suất lại là 5/9.

Cuối cùng là C với A. Nếu con A xuất hiện mặt số 2 thì mọi mặt của con C đều lớn hơn. Đó là 12 khả năng. Nếu xuất hiện mặt số 4 thì con C có thể xuất hiện 5 hoặc 7. Đó là 8 khả năng. Nếu xuất hiện mặt số 9 thì con xúc xắc kia không có cơ hội. Tổng cộng là 12 + 8 = 20 khả năng và ta lại được xác suất 5/9.

Xúc xắc Efron

Xúc xắc Efron là một bộ xúc xắc khác không có tính bắc cầu đối với quan hệ “là con xúc xắc tốt hơn”. Các mặt của chúng ghi những số sau:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Mỗi con xúc xắc luôn thắng con tiếp theo với xác suất 2/3. Chẳng hạn khi ra mặt số 4, con A thắng con B; khi ra mặt số 0 thì thua. Và con A xuất hiện mặt số 4 với xác suất 2/3. Tương tự với các con xúc xắc khác.

Còn có những biến thể khác của xúc xắc Efron. Có những bộ có cùng giá trị trung bình mỗi lần gieo (chẳng hạn con A ở trên trung bình cho số 8/3, trong khi con C có trung bình cao hơn, 10/3), hoặc những bộ chia nhau tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 24.

Tài liệu tham khảo

• Wikipedia tiếng Anh