Nghịch lí kẻ nói dối trong xác suất

Ví dụ này giống nghịch lí kẻ nói dối quen thuộc, chỉ khác là được chuyển sang ngôn ngữ xác suất.

Đề bài

Nếu chọn ngẫu nhiên một đáp án cho câu hỏi này, khả năng đáp án đó đúng là bao nhiêu?

• A) 25%
• B) 50%
• C) 0%
• D) 25%

Nghịch lí kẻ nói dối ban đầu

Ví dụ này mắc phải vấn đề quen thuộc của những bài toán tự nói về chính mình. Vì vậy ở trên đã nhắc đến nghịch lí kẻ nói dối, có thể phát biểu như sau: “Câu này là sai”. Nghịch lí ở chỗ: nếu câu đó thật sự sai thì câu đó lại nói đúng. Nhưng nếu câu đó nói đúng thì nó không thể đúng, vì chính nó khẳng định điều ngược lại!

Lời giải

Trong lời giải ta giả thiết xác suất phân bố đều, nên mỗi đáp án được chọn ngẫu nhiên với xác suất 25%.

• Giả sử đáp án A đúng. Điều quan trọng ở đây là đáp án D có cùng con số phần trăm, nên xác suất chọn được đáp án 25% là 50%. Vì vậy cả đáp án A lẫn D đều không thể đúng.
• Xác suất chọn được đáp án B là 25%. Vì vậy đáp án B cũng không thể đúng, vì đáp án này nói rằng khả năng chọn được đáp án đúng là 50%.
• Xác suất chọn được đáp án C là 25%. Vì vậy đáp án C cũng không thể đúng, vì đáp án này nói rằng khả năng chọn được đáp án đúng là 0%.

Như vậy không có đáp án nào đúng. Vậy khả năng chọn được đáp án đúng là bao nhiêu? Nếu không có đáp án nào đúng thì khả năng chọn được đáp án đúng là 0%. Nhưng điều này lại mâu thuẫn với việc thực tế ta có xác suất 25% chọn được đáp án nói rằng khả năng đó là 0%.

Như vậy bài toán không có lời giải, đó là một nghịch lí thú vị, tương tự nghịch lí kẻ nói dối quen thuộc.