Cộng, trừ, nhân và chia phân số

Mọi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng phân số. Phân số gồm hai phần: phần trên gọi là tử số, phần dưới gọi là mẫu số. Ngoài ra còn có phân số phức hợp (phân số tầng), đó chẳng qua là phân số có tử hoặc mẫu là một phân số khác. Nhân tiện, mọi dấu giữa các phân số (cộng, trừ, bằng, v.v.) luôn viết ngang với gạch ngang phân số, không viết ngang với tử số hay mẫu số. Mà này, bạn có biết rằng cứ bốn người thì có năm người gặp khó khăn với phân số không?

Kiến thức cơ bản

Phân số có dạng sau:

$$\frac{\text{tử số}}{\text{mẫu số}}$$

Ví dụ về một phân số là

$$\frac{2}{5},$$

tức là hai phần năm. Mẫu số cho biết đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau: phần hai, phần ba, phần sáu… và tên gọi của phân số bắt nguồn từ số nằm dưới gạch ngang. Còn tử số cho biết số phần được lấy; trong ví dụ trên là hai phần năm. Về tên gọi như vậy là đủ.

Về nguyên tắc, ở tử và mẫu có thể là bất kì số nào, hoặc lại là một phân số, nhưng thường gặp nhất là phân số có tử và mẫu đều là số tự nhiên (mẫu khác 0).

Phân số chỉ là một cách viết khác của phép chia: giá trị của phân số bằng tử số chia cho mẫu số. Tổng quát, với phân số $\frac{a}{b}$, giá trị của phân số là số a/b. Phân số ở trên (hai phần năm) có giá trị 2/5, tức là 0,4.

Đưa về phân số tối giản

Ta có thể biến đổi phân số theo nhiều cách, chẳng hạn nhân cả tử và mẫu với cùng một số hoặc chia cả tử và mẫu cho cùng một số, mà giá trị phân số không thay đổi. Điều này dễ hình dung bằng lời: một phần hai có cùng giá trị với hai phần tư hay bốn phần tám. Đó là vì phân số chỉ là phép chia “đội lốt”. Và có thể đi đến số một phần hai bằng cách chia nhiều cặp số khác nhau: bốn chia tám được một phần hai, mười chia hai mươi cũng được một phần hai. Vì vậy các phân số

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

có cùng giá trị.

Như ta thấy, các phân số khác có cùng giá trị nhận được bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân số ban đầu 1/2 với hai. Sau khi nhân ta được phân số 2/4, hai phần tư. Nếu tiếp tục nhân cả tử và mẫu của phân số này với hai, ta được phân số 4/8, bốn phần tám. Ở đây ta đã nhân cả tử và mẫu với cùng một số.

Phép biến đổi ngược lại là rút gọn phân số: chia cả tử và mẫu cho cùng một số. Muốn rút gọn phân số, ta phải tìm một số mà cả tử và mẫu đều chia hết cho nó. Rút gọn phân số được dùng rất thường xuyên trong thực tế, vì nhờ đó phân số trở nên đơn giản hơn nhiều và dễ tính toán hơn. Với phân số 12/18, liếc qua đã thấy cả hai số đều chẵn, nên chia hết cho hai. Đương nhiên có thể rút gọn phân số cho hai, nhưng nhìn kĩ hơn sẽ thấy cả tử và mẫu đều chia hết cho sáu. Nếu rút gọn cho sáu, ta được phân số đơn giản hơn so với chỉ rút gọn cho hai. Vì vậy ta rút gọn phân số cho sáu và được phân số 2/3.

Phân số này không rút gọn được nữa, không có số nào (lớn hơn một) mà cả tử và mẫu đều chia hết. Phân số không thể rút gọn được nữa gọi là phân số tối giản. Hãy cố gắng luôn làm việc với phân số tối giản: mỗi khi tính toán với phân số, trước hết hãy xem có phân số nào rút gọn được không. Như vậy sẽ tiết kiệm thời gian. Thêm một ví dụ:

$$\frac{24}{42}$$

24 và 42 cùng chia hết cho số nào? Cả hai đều là số chẵn, nên chắc chắn chia hết cho hai. Chia cả tử và mẫu cho hai:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Có số nào mà cả hai số cùng chia hết không? Có, lần này là số ba.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Còn số nào mà cả tử và mẫu cùng chia hết không? Không còn, phân số đã tối giản.

Nhân phân số

Có thể bạn sẽ ngạc nhiên, nhưng với phân số, phép nhân và phép chia lại đơn giản hơn phép cộng và phép trừ. Muốn nhân hai phân số, chỉ cần nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai, mẫu số với mẫu số. Thế là xong. Ví dụ về nhân phân số:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Khi nhân phân số còn có thêm một cách rút gọn nữa. Không chỉ rút gọn trong từng phân số, mà còn có thể rút gọn chéo. Nếu tử số của phân số thứ nhất và mẫu số của phân số thứ hai rút gọn được với nhau, bạn có thể làm vậy để phép nhân đơn giản hơn. Ví dụ (các số được rút gọn được đóng khung):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Ta đã làm gì? Chia cả số bốn và số tám cho bốn. Giá trị của tích không thay đổi. Nếu không rút gọn bây giờ thì có thể rút gọn sau khi nhân.

Nhân phân số với một số nguyên có thể đưa về nhân hai phân số bằng cách viết số nguyên c thành c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Như vậy, khi nhân phân số với một số nguyên, chỉ cần nhân tử số của phân số với số đó.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Chia phân số

Chia phân số gần như giống hệt nhân phân số. Muốn chia một phân số cho phân số khác, ta đảo ngược phân số thứ hai (số chia) rồi nhân các phân số như bình thường. Ví dụ đơn giản về chia phân số (để ý rằng sau khi đảo ngược phân số, có thể rút gọn 12 và 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Ta đã đưa phép chia về phép nhân bằng cách đảo ngược phân số $\frac{6}{11}$ thành $\frac{11}{6}$ rồi nhân với phân số kia giữ nguyên. Vì sao lại như vậy? Chỉ cần hình dung qua một ví dụ đơn giản hơn, chẳng hạn chia cho một phần hai. Khi tính

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

thực chất ta đang làm gì? Ta tìm xem một phần hai nằm gọn trong mười bao nhiêu lần. Trong mỗi đơn vị, một phần hai nằm gọn đúng hai lần (hai lần một phần hai bằng một), nên trong mười nó nằm gọn hai mươi lần. Nhân hai với mười cũng ra cùng kết quả: hai mươi. Còn đảo ngược một phần hai thì được giá trị nào? Hai phần một, tức là hai.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Kết quả là:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Cộng phân số

Cộng phân số thường phức tạp hơn một chút. Chỉ có thể cộng các phân số khi chúng có cùng mẫu số. Nếu các phân số không cùng mẫu, ta phải quy đồng mẫu số. Sau đó làm đơn giản như phép nhân: cộng tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. Nhưng khác với phép nhân, ta giữ nguyên mẫu số. Trước hết là ví dụ cộng các phân số cùng mẫu:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Điều này có hợp lí không? Một phần hai cộng năm phần hai bằng sáu phần hai, khá hợp lí.

Nếu các phân số không cùng mẫu, đây là trường hợp thường gặp hơn, ta phải quy đồng mẫu số, tức là nhân cả tử và mẫu của một hoặc cả hai phân số với cùng một số sao cho được cùng một mẫu. Ta muốn cộng hai phân số sau:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Phân số thứ nhất có mẫu là ba, phân số thứ hai có mẫu là hai. Lúc này khó cộng chúng, nhưng nếu nhân cả tử và mẫu của phân số thứ nhất với hai thì mẫu sẽ là sáu, và nếu nhân cả tử và mẫu của phân số thứ hai với ba thì mẫu cũng là sáu. Khi đó hai phân số có cùng mẫu và có thể cộng dễ dàng. Vậy bước đầu tiên là biến đổi các phân số sao cho chúng có cùng mẫu số:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Bây giờ chỉ việc cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Chú ý rằng khi cộng, không thể rút gọn chéo giữa các phân số như khi nhân. Chẳng hạn sau khi biến đổi, mẫu của phân số thứ nhất là sáu, tử của phân số thứ hai là mười lăm. Dù vậy, không thể rút gọn cho ba:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Chỉ được rút gọn như vậy nếu ta nhân các phân số:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Tổng quát, quy đồng mẫu số hai phân số thế nào? Nhân cả tử và mẫu của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, và nhân cả tử và mẫu của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất. Tổng quát có thể viết:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Phân số thứ nhất được nhân cả tử và mẫu với d, là mẫu số của phân số thứ hai. Phân số thứ hai được nhân cả tử và mẫu với b, là mẫu số của phân số thứ nhất. Ví dụ cụ thể:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Phân số thứ nhất được nhân cả tử và mẫu với tám, phân số thứ hai với bốn. Sau đó có thể cộng các phân số.

Công thức tổng quát để cộng phân số như sau:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Trừ phân số

Trừ phân số làm giống hệt cộng phân số, chỉ khác là các tử số thu được không cộng mà trừ. Vậy công thức cộng tổng quát ở trên được sửa thành:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Ví dụ cụ thể; đầu tiên quy đồng mẫu số:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Bây giờ chỉ việc trừ các tử số, giữ nguyên mẫu số:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Tính chất của tỉ lệ thức

Với phương trình, ta có thể dùng tính chất của tỉ lệ thức (tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ), giúp đơn giản hoá đẳng thức của hai phân số. Thực chất đây chỉ là hai phép biến đổi tương đương của phương trình. Xét phương trình có hai phân số

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Có thể biến đổi phương trình này bằng cách nhân hai vế với mẫu của phân số thứ nhất rồi với mẫu của phân số thứ hai. Trước hết nhân hai vế với mẫu của phân số thứ nhất, tức là biểu thức b. Ta được

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Sau đó nhân hai vế với biểu thức d, ta được

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Ở phân số thứ nhất rút gọn b, ở phân số thứ hai rút gọn d. Kết quả là phương trình

$$ad=bc.$$

Có thể xem đây là một công thức: nếu phương trình có dạng hai phân số bằng nhau, ta có thể biến đổi như sau:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Sau đây là một ví dụ. Bước đầu tiên viết lại các phân số theo công thức trên, bước thứ hai chỉ cần biến đổi nhẹ các biểu thức ở hai vế.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Tiếp theo phương trình được giải như một phương trình bậc hai thông thường, nhưng điều đó nằm ngoài phạm vi bài này.

Chủ đề liên quan

Phân số thường xuất hiện trong các bài toán rút gọn biểu thức, đề tài của bài phân thức đại số. Đặc biệt có một thuật toán chia đa thức cho đa thức.