Hàm số lượng giác ngược

Để các hàm số lượng giác cơ bản thật sự hữu dụng, cần định nghĩa cả các hàm số ngược của chúng. Đó chính là các hàm số lượng giác ngược arcsin, arccos, arctan và arccot (tên gọi bắt nguồn từ tiếng Latinh: arcus sin, arcus côsin…).

Ví dụ mở đầu

Bắt đầu với một ví dụ. Tính số đo góc alpha:

Ta biết độ dài hai cạnh của tam giác, cạnh b = 3 và cạnh a = 6. Cần tính góc alpha; cạnh a là cạnh huyền, còn cạnh b là cạnh đối của góc alpha. Cạnh đối được dùng trong hàm số sin: nói chính xác, sin của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền. Ta thay vào công thức:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Bây giờ ta biết sin của góc alpha bằng $\frac{1}{2}$. Câu hỏi là từ số này làm sao tìm được góc. Muốn vậy, cần hàm số ngược của hàm số sin. Hàm số sin nhận đầu vào là một góc và cho kết quả là tỉ số của hai cạnh. Nhưng bây giờ ta cần một hàm số nhận vào một tỉ số và cho ra một góc.

Đó chính là việc mà các hàm số lượng giác ngược giải quyết. Trước khi định nghĩa chặt chẽ các hàm số này, ta tính nốt ví dụ nhờ Google, theo đó arcsin của $\frac{1}{2}$ bằng 30 độ. Nếu muốn tính ví dụ này bằng máy tính cầm tay, lưu ý rằng ở đó arcsin thường được kí hiệu là sin⁻¹.

Hàm số ngược của hàm số sin?

Trước hết, hãy quan sát đồ thị hàm số sin:

Bây giờ nhắc lại vài tính chất của hàm số. Hàm số f có hàm số ngược nếu nó là đơn ánh. Điều đó nghĩa là gì? Nếu lấy hai phần tử khác nhau x₁ và x₂ thuộc tập xác định thì ảnh của chúng f(x₁) và f(x₂) phải khác nhau. Điều này phải đúng với mọi cặp có thể. Có thể dễ dàng nhận ra từ đồ thị: nếu vẽ được một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị hàm số f nhiều hơn một lần thì hàm số đó không phải là đơn ánh.

Rõ ràng với hàm số sin ta tìm được đường thẳng như vậy. Chẳng hạn, chính trục hoành cắt đồ thị hàm số sin nhiều hơn một lần, nói chính xác là vô số lần. Vì vậy hàm số sin không phải là đơn ánh, nên nó không có hàm số ngược.

Hàm số ngược của hàm số sin đã thu hẹp

Từ mục trước, ta biết hàm số sin không có hàm số ngược. Nhưng từ mục đầu tiên, ta biết có một hàm số arcsin hoạt động đúng như mong muốn. Làm sao có được điều đó? Ta chỉ lấy một phần của hàm số sin mà trên đó nó là đơn ánh, và nhờ vậy định nghĩa được hàm số ngược của thu hẹp này.

Để thu hẹp hàm số sin, ta thu nhỏ tập xác định của nó. Nên chọn tập con nào của tập xác định ban đầu (tập số thực)? Có thể chọn nhiều tập con, nhưng lựa chọn tốt nhất là đoạn

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Đoạn này được biểu diễn trên hình sau:

Trên tập xác định này, ta đã có thể định nghĩa hàm số ngược, vì trên đoạn này hàm số sin là đơn ánh. Đồ thị hàm số ngược đối xứng với đồ thị hàm số ban đầu qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba, nên ta có thể vẽ đồ thị hàm số ngược của hàm số sin(x) đã thu hẹp. Hãy quan sát hình:

Màu xanh dương là đồ thị hàm số sin ban đầu. Màu đỏ là phần của hàm số mà ta tìm hàm số ngược. Màu xanh lá là hàm số ngược, kí hiệu là arcsin hoặc chỉ asin.

Tập xác định và tập giá trị của arcsin

Hai hàm số này minh hoạ rất rõ việc tập xác định và tập giá trị đổi chỗ cho nhau. Hãy xem hình sau: vẫn là các đồ thị đó, cùng màu, chỉ phóng to hơn một chút và thêm vài đường và điểm:

Để ý rằng tập xác định của hàm số sin đã thu hẹp (đường màu đỏ) là đoạn

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Tập xác định là tập tất cả các giá trị x mà tại đó hàm số xác định. Ta đã định nghĩa hàm số chỉ trên đoạn này để được một đơn ánh. Trên đồ thị, các giá trị x này nằm trên trục hoành.

Bây giờ hãy xem tập giá trị của hàm số arcsin (đường màu xanh lá). Tập giá trị là tất cả các giá trị y mà hàm số có thể nhận ở đầu ra, nên ta tìm chúng trên trục tung. Hàm số arcsin có tập giá trị cũng là đoạn

$$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

đây là tính chất chung của hàm số ngược, nên không có gì đáng ngạc nhiên. Điều tương tự cũng đúng với tập giá trị của hàm số sin đã thu hẹp và tập xác định của arcsin. Tập giá trị của hàm số sin là đoạn từ −1 đến 1. Hàm số sin chỉ nhận các giá trị này: không có góc nào có sin lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1. Và vì không có góc nào có sin lớn hơn 1, nên hợp lí là hàm số ngược cũng không thể nhận đầu vào lớn hơn 1. Vì vậy tập xác định của hàm số arcsin cũng là đoạn [−1; 1].

Giá trị của hàm số arcsin có thể tính bằng máy tính arcsin.

Hàm số arccos

Bây giờ nói ngắn gọn về hàm số ngược của côsin. Vì cùng lí do như với hàm số sin, ở đây không tồn tại hàm số ngược, vì hàm số không phải là đơn ánh. Tuy vậy, có thể chọn một tập con của tập xác định để được một đơn ánh.

Màu xanh dương là đồ thị hàm số côsin, phần màu đỏ là thu hẹp của hàm số này trên tập xác định [0; π]. Đường màu xanh lá là đồ thị hàm số arccos(x), hàm số ngược của hàm số côsin đã thu hẹp.

Hàm số arctan

Đồ thị hàm số tang như sau:

Đồ thị có hình dạng khác các hàm số trước, nhưng vẫn không phải là đơn ánh. Tuy nhiên, một lần nữa ta có thể thu hẹp hàm số này và chọn một phần mà trên đó nó là đơn ánh. Ta chọn khoảng

$$(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$$

Khi đó hàm số ngược có dạng như sau:

Hàm số arccot

Mọi thứ giống như ở các đoạn trên. Đồ thị hàm số côtang: Tập xác định của hàm số côtang đã thu hẹp là khoảng (0; π).