Hàm số lượng giác

Bài này trình bày các hàm số lượng giác. Tên gọi quốc tế “goniometry” của ngành này bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp và có nghĩa là đo góc, còn “trigon” nghĩa là tam giác. Có bốn hàm số lượng giác cơ bản: sin, côsin, tang và côtang.

Các khái niệm cơ bản về tam giác

Các hàm số lượng giác gắn với các góc trong tam giác, vì vậy ở phần này ta nhắc lại các khái niệm liên quan đến tam giác.

Trên hình là một tam giác có các đỉnh A, B và C, tức tam giác ABC. Tam giác có ba cạnh: AB, BC, AC. Để ý rằng các cạnh này còn được đặt tên bằng chữ cái thường. Cách đặt tên có quy tắc: đối diện đỉnh A là cạnh a, đối diện đỉnh B là cạnh b và đối diện đỉnh C là cạnh c. Như vậy cạnh đối diện luôn được đặt tên theo đỉnh tương ứng; đó là cạnh không đi qua đỉnh đó.

Mỗi tam giác có ba góc trong, thường kí hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp alpha α, beta β và gamma γ. Tổng ba góc trong luôn bằng 180 độ. Thông thường, góc alpha ở đỉnh A, góc beta ở đỉnh B và góc gamma ở đỉnh C.

Mặc dù các hàm số lượng giác có thể dùng theo cách nào đó với mọi tam giác, ta thường chỉ xét tam giác vuông. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông, tức góc có số đo 90 độ. Chẳng hạn như sau:

Các cạnh của tam giác vuông có tên gọi riêng. Cạnh dài nhất nằm đối diện góc vuông và gọi là cạnh huyền (cạnh màu xanh dương trên hình). Hai cạnh ngắn hơn gọi là cạnh góc vuông (các cạnh màu đỏ). Trong bài này, ta quan tâm nhiều nhất đến tam giác này.

Cạnh kề và cạnh đối trong tam giác

Ta lần lượt đi đến hàm số lượng giác đầu tiên, hàm số sin. Mọi hàm số lượng giác đều cho biết mối quan hệ giữa một góc trong tam giác và tỉ số độ dài của hai cạnh. Thông thường đó không phải là góc vuông mà là một trong hai góc còn lại. Đầu vào của hàm số lượng giác là số đo góc. Đầu ra là tỉ số của hai cạnh nào đó. Các hàm số khác nhau ở chỗ chúng dùng những cạnh nào.

Hàm số sin dùng cạnh đối và cạnh huyền. Thế nào là cạnh kề và cạnh đối đối với một góc cho trước được thể hiện trên hình sau.

Trên hình ta xét góc beta, tức góc ở đỉnh B. Cạnh màu đen là cạnh huyền, nó không thay đổi. Cạnh c tô màu đỏ là cạnh kề, vì nó kề với góc beta. Cạnh b tô màu xanh dương là cạnh đối, vì nó nằm đối diện góc beta. Điều quan trọng là các khái niệm này luôn gắn với một góc. Nếu nhìn hình từ góc gamma, ta được kết quả sau:

Hàm số sin

Sin của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền. Điều đó nghĩa là gì? Nếu tính sin của góc alpha (chẳng hạn bằng máy tính cầm tay), ta được giá trị của thương

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh đối}}{\text{Độ dài cạnh huyền}}$$

Ta thử với tam giác sau và góc beta: Đây là một tam giác đẹp, độ dài các cạnh là: |a| = 5, |b| = 3 và |c| = 4. Cạnh đối của góc beta là cạnh b, cạnh huyền là cạnh a. Tính thương b/a, tức 3/5, bằng 0,6. Vậy sin của góc beta bằng 0,6. Góc beta có số đo 36° 52′; nếu nhập góc này vào máy tính cầm tay và tính sin, ta được đúng 0,6 (sau khi làm tròn một chút).

Ứng dụng

Điều này hữu ích khi biết một góc và độ dài một cạnh, cần tính các cạnh còn lại.

Trước hết, ta viết ra những gì đã biết. Ta biết góc alpha. Ta biết sin của góc này bằng tỉ số giữa cạnh đối (cạnh a) và cạnh huyền (cạnh b). Viết bằng kí hiệu toán học:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Sin của góc đã biết, hay đúng hơn là tính được, độ dài cạnh a cũng đã biết. Chỉ chưa biết độ dài cạnh b. Vì vậy ta cần rút |b| ra. Trước hết, nhân hai vế với độ dài cạnh b. Ta được

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

và bây giờ chỉ cần chia hai vế cho sin(α) là được dạng cần tìm, với độ dài cạnh b ở vế trái:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Độ dài cạnh a đã biết, bằng 3. Sin của 30° bằng $\frac{1}{2}$. Thay vào:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Cạnh b có độ dài bằng 6.

Hàm số côsin

Côsin rất giống với hàm số sin. Các thuật ngữ liên quan đến hàm số côsin giống như ở phần trước, nên ta đi thẳng vào định nghĩa:

Côsin của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh huyền. Vậy nếu tính côsin của góc alpha bằng máy tính cầm tay, ta được giá trị của thương

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh huyền}}.$$

Hình sau thể hiện rõ sự khác nhau giữa sin và côsin:

Cả hai hàm số đều dùng cạnh huyền của tam giác, cạnh này vẫn màu đen. Sin dùng cạnh đối, mà đối với góc alpha đó là cạnh màu đỏ BC. Côsin dùng cạnh kề, đó là cạnh màu xanh dương AB.

Quay lại ví dụ ở mục trước. Ta đã phải tính độ dài cạnh huyền khi biết độ dài cạnh a. Bây giờ thử tính độ dài cạnh c khi biết góc alpha và độ dài cạnh huyền vừa tính được ở ví dụ trên: b = 6.

Ta biết gì? Góc alpha có số đo 30 độ, độ dài cạnh b bằng 6, và côsin cho biết tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. Cạnh kề là cạnh c, chính là cạnh cần tìm độ dài. Ta viết:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Cần rút |c| từ phương trình. Để làm vậy, nhân hai vế với độ dài cạnh b, khi đó ở vế phải chỉ còn lại độ dài cạnh c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Chỉ cần đổi vế:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Ở vế phải là các biểu thức đã biết hoặc tính được. Côsin của 30° xấp xỉ bằng 0,866. Thay vào phương trình:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Đó là độ dài cạnh c. Như sẽ thấy ở dưới, côsin của 30° là một giá trị đặc biệt, bằng

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

nên độ dài ở trên có thể viết chính xác hơn:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tang và côtang

Còn hai hàm số lượng giác nữa là tang và côtang. Khác biệt chính so với các hàm số lượng giác ở trên là tang và côtang chỉ dùng các cạnh góc vuông, không dùng cạnh huyền.

Tang của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề. Tang thường kí hiệu là tan (ở một số nước là tg).

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh đối}}{\text{Độ dài cạnh kề}}$$

Côtang của góc alpha bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh đối. Côtang thường kí hiệu là cot hoặc cotan.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Độ dài cạnh kề}}{\text{Độ dài cạnh đối}}$$

Các thuật ngữ vẫn giống như ở các phần trước, và cách dùng các hàm số này cũng vậy. Quay lại ví dụ ở trên và thử tính độ dài cạnh c chỉ từ số đo góc alpha và độ dài cạnh a, với a = 3.

Tang là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, nên viết bằng kí hiệu toán học như sau:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Cần tính độ dài cạnh c, nên phải rút |c| từ phương trình này. Nhân hai vế với |c| rồi chia cho tan(α), tương tự như ở các ví dụ trước.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Thay vào vế phải, trong đó tang của 30° xấp xỉ bằng 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Tang của 30° có giá trị đặc biệt:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

nên phép tính trên có thể thực hiện chính xác:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Với một số góc đẹp, sin, côsin, tang và côtang có giá trị đẹp. Sau đây là bảng tổng quan:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Liên kết

Các khái niệm liên quan trên trang này:

• Góc lượng giác
• Radian