Парадокс на рождените дни

Колко души трябва да има в един клас или на един рожден ден, за да се намерят с вероятност поне 50% двама, които имат рожден ден в един и същ ден? Годината не ни интересува, броят се само денят и месецът. На повечето хора интуицията подсказва нещо около 183, т.е. половината от годината. Правилният отговор е 23.

Парадокс е само на пръв поглед. В него няма никакво противоречие, просто интуицията ни води в напълно грешна посока.

Защо толкова малко?

Когато питаме за еднакъв рожден ден, обикновено мислим за себе си: има ли някой рожден ден като моя? Въпросът обаче е друг. Не търсим съвпадение с мен, а съвпадение между които и да е двама души в групата.

Двойките в групата са много повече, отколкото човек би очаквал. В група от 23 души всеки може да образува двойка с 22 други. Така получаваме 23 · 22, но всяка двойка сме преброили два пъти (Мария с Иван и Иван с Мария), така че двойките са

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Това е същото като биномния коефициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Всяка двойка дава един шанс за съвпадение и 253 опита вече са доста.

Как се пресмята

Да предположим, че годината има 365 дни, 29 февруари пропускаме и всеки ден е еднакво вероятен. Броят на ражданията през годината всъщност леко варира, но това почти не влияе на резултата.

Да пресметнем директно кога съвпадат поне двама, би било мъчително. Могат да съвпадат двама души, трима, две различни двойки… Затова ще тръгнем по заобиколен път през противоположното събитие: ще пресметнем вероятността всички да имат рожден ден в различни дни и ще я извадим от единица.

Започваме с трима души. Първият може да има рожден ден в кой да е ден, това е $\frac{365}{365}$. Вторият трябва да попадне в различен ден от първия, затова му остават само 364 дни от 365. На третия отпадат двата вече заети дни, има избор между 363 дни. Вероятностите умножаваме:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx \mathrm{0,991}8$$

Вероятността двама от трима души да съвпадат е 1 − 0,9918 = 0,0082, което е малко под един процент.

При 23 души подходът е същият, дробите са просто повече. Двадесет и третият човек има избор между 365 − 22 = 343 дни:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx \mathrm{0,492}7$$

С вероятност около 0,4927 всички имат рожден ден в различни дни. Изваждаме от единица:

$$1-\mathrm{0,492}7=\mathrm{0,507}3$$

Вероятността поне двама от 23 души да имат рожден ден в един и същ ден е около 50,7%. При 22 души тя все още е само 47,6%, така че 23 е най-малкият брой, при който шансът надхвърля половината.

С всеки следващ човек вероятността бързо расте. За 10 души се получава около 12%, за 30 около 71%, за 50 около 97% и за 70 вече над 99,9%. Когато в един клас седят тридесет деца и никои две нямат общ рожден ден, това е по-скоро малко късмет.

А какво да кажем за моя рожден ден?

Да се върнем към въпроса, който хората си задават първо: колко души трябват, за да има поне един от тях рожден ден в същия ден като мен?

Тук се пресмята по друг начин. Всеки от n души има рожден ден в друг ден, различен от моя, с вероятност $\frac{364}{365}$, и то независимо от останалите. Искаме

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

За n = 252 се получава около 0,4991, което още не стига. За n = 253 се получава около 0,5005, така че ни трябват 253 души. Между другото, точно толкова са и двойките в група от 23 души. Не е съвсем случайност: 253 двойки са 253 шанса за съвпадение, също като 253 души, сравнявани с мен. Че се получава точно същото число, обаче е вече малко късмет. Двойките си влияят леко една на друга и затова при 23 души се получава 50,7%, а не 50,05%.

Виж също

• Противоположно събитие
• Вероятност
• Комбинации
• Задача за трите врати