Тригонометрични функции

В тази статия ще се занимавам с тригонометричните функции. Думата тригонометрия идва от гръцки и означава измерване на триъгълници, като „тригон“ се превежда като триъгълник. Познаваме четири основни тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс.

Основни понятия за триъгълника

Тригонометричните функции работят с ъглите в триъгълник, затова в тази част ще си припомним понятията, свързани с триъгълника.

На чертежа се вижда триъгълник, образуван от върховете A, B и C; следователно това е триъгълникът ABC. Намираме тук три страни: AB, BC, AC. Забележи още, че тези страни са наименувани и с малки букви. Това наименуване има правило – срещу върха A имаме страната a. Срещу върха B е страната b, а срещу върха C е страната c. Така срещулежащата страна винаги носи името на дадения връх; това е страната, която не минава през него.

Всеки триъгълник има три вътрешни ъгъла, които обикновено означаваме с гръцките букви алфа α, бета β и гама γ. Сборът на трите вътрешни ъгъла винаги трябва да дава 180 градуса. При върха A обикновено имаме ъгъл алфа, при B бета и при C гама.

Въпреки че тригонометричните функции можем по някакъв начин да ги използваме при всеки триъгълник, често работим само с правоъгълния триъгълник. Правоъгълният триъгълник е такъв триъгълник, който има един прав ъгъл, тоест с мярка 90 градуса. Изглежда например така:

Правоъгълният триъгълник има специално наименувани страни. Най-дългата страна се намира срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза (синята страна на чертежа). На двете по-къси страни им казваме катети (червените страни). Този триъгълник ще ни интересува най-много в тази статия.

Означаване на катетите в триъгълника

Да преминем постепенно към първата тригонометрична функция, към функцията синус. Всички тригонометрични функции ни показват връзката между някакъв ъгъл в триъгълника и отношението на дължините на две страни. По правило не става дума за правия ъгъл, а за останалите два. Следователно входът на тригонометричната функция е мярката на ъгъла. Изходът е отношението на някои две страни. Отделните функции се различават според това с кои страни работят.

Функцията синус работи със срещулежащия катет и хипотенузата. Кой е прилежащият и кой срещулежащият катет спрямо даден ъгъл показва следният чертеж.

На чертежа работим с ъгъл бета, тоест с ъгъла при върха B. Черната страна е хипотенузата, при нея нищо не се променя. Червено откроената страна c е прилежащият катет, защото прилежи на ъгъл бета. Синьо откроената страна b е срещулежащият катет, защото е срещу ъгъл бета. Важно е, че тези понятия винаги се отнасят към ъгъл. Ако погледнем чертежа от гледна точка на ъгъл гама, получаваме този резултат:

Функцията синус

Синусът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на хипотенузата. Какво означава това? Ако пресметнем (например на калкулатор) синуса на ъгъл алфа, получаваме стойността на частното

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Дължина на срещулежащия катет}}{\text{Дължина на хипотенузата}}$$

Нека го опитаме на този триъгълник и ъгъл бета: Това е хубав триъгълник, дължините на страните са: |a| = 5, |b| = 3 и |c| = 4. Срещулежащият катет на ъгъл бета е страната b, хипотенузата е страната a. Пресмятаме частното b/a, тоест 3/5, което е 0,6. Следователно синусът на ъгъл бета е равен на 0,6. Ъгъл бета има мярка 36° 52′, ако въведеш този ъгъл в калкулатор и пресметнеш синуса, получаваш именно 0,6 (след леко закръгляване). Резултата можеш да провериш в калкулатора за стойността на функцията синус.

За какво служи това

Полезно е, когато знаеш един ъгъл и дължината на една страна и трябва да допресметнеш останалите страни.

Първо си записваме какво всъщност знаем. Знаем ъгъл алфа. Знаем, че синусът на този ъгъл е равен на отношението на срещулежащия катет (което е страната a) към хипотенузата (страната b). Записано математически:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Синуса на ъгъла знаем, съответно можем да го пресметнем, дължината на страната a знаем. Единственото, което не знаем, е дължината на страната b. Тази променлива ще се опитаме да я изразим. Първо умножаваме уравнението по дължината на страната b. Получаваме

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

а сега вече само разделяме уравнението на sin(α) и получаваме търсения вид с дължината на страната b от лявата страна:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Дължината на страната a знаем, тя е равна на три. Синусът от трийсет градуса е равен на една втора. Заместваме:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Страната b има дължина шест.

Функцията косинус

Косинусът е много подобен на функцията синус. Терминологията около функцията косинус е същата като в предишната част, така че да преминем към определението:

Косинусът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на хипотенузата. Така че ако на калкулатор пресметнем косинуса на ъгъл алфа, получаваме с това стойността на частното

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{дължина на прилежащия катет}}{\text{дължина на хипотенузата}}.$$

Прегледно разликата между синуса и косинуса показва следният чертеж:

И двете функции работят с хипотенузата на триъгълника, тя остава черна. Синусът работи със срещулежащия катет, който е – спрямо ъгъл алфа – червената страна BC. Косинусът работи с прилежащия катет, който е синята страна AB.

Да се върнем към примера, описан в предишния раздел. Трябваше да пресметнем дължината на хипотенузата, ако знаехме дължината на страната a. Нека сега опитаме да пресметнем дължината на страната c, ако знаем ъгъл алфа и дължината на хипотенузата, която току-що пресметнахме в предишния пример: b = 6.

Какво знаем? Ъгъл алфа има мярка 30 градуса, дължината на страната b е равна на шест, а косинусът ни дава отношението на прилежащия катет към хипотенузата. Прилежащият катет е страната c, която е страната, чиято дължина искаме да установим. Записваме:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Трябва да изразим от уравнението |c|. Това правим, като умножим уравнението по дължината на страната b, с което от дясната страна остава именно само дължината на страната c:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Само обръщаме страните:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

От дясната страна имаме изрази, които или знаем, или умеем да допресметнем. Косинусът от трийсет градуса е приблизително 0,866 (виж калкулатора за функцията косинус). Заместваме в уравнението:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Това е дължината на страната c. Както ще видим по-нататък, косинусът от трийсет градуса е таблична стойност, която е равна на

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

така че предишната дължина можем да я уточним на:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Тангенс и котангенс

Съществуват още две тригонометрични функции, тангенс и котангенс. Основната разлика спрямо предишните тригонометрични функции е, че тангенсът и котангенсът работят само с катетите, не работят с хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на прилежащия катет. Тангенса означаваме tg.

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{\text{Дължина на срещулежащия катет}}{\text{Дължина на прилежащия катет}}$$

Котангенсът на ъгъл алфа е равен на отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на срещулежащия катет. Котангенса означаваме cotg.

$$\mathrm{cotg}(\alpha )=\frac{\text{Дължина на прилежащия катет}}{\text{Дължина на срещулежащия катет}}$$

Терминологията отново е същата като в предишните части и по-нататъшната работа с функциите е същата. Да се върнем към предишния пример и да опитаме да пресметнем дължината на страната c само от знанието на мярката на ъгъл алфа и дължината на страната a, която е a = 3.

Тангенсът е отношение на срещулежащия катет към прилежащия катет, така че записано математически ще изглежда така:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Трябва да пресметнем дължината на страната c, така че трябва да изразим от това уравнение израза |c|. Умножаваме по израза |c| и делим на tg(α), подобно на предишните примери.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \mathrm{tg}(\alpha )& =& |a|/:\mathrm{tg}(\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\mathrm{tg}(\alpha )}\end{array}$$

Заместваме в дясната страна, където тангенсът от трийсет градуса е приблизително равен на 0,5773 (виж калкулатора за стойността на функцията тангенс).

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

За тангенса от трийсет градуса съществува таблична стойност, в сила е, че:

$$\mathrm{tg}({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

така че предишното пресмятане можем да го направим точно:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Таблични стойности

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът имат за някои удобни ъгли прости стойности. Ето основния им преглед:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \mathrm{tg}& \mathrm{cotg}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Връзки

Свързани понятия тук на сайта:

• Ориентиран ъгъл
• Радиан