Пресмятане с проценти

Процентите обикновено означават някаква относителна част от цяло, като самото цяло се изразява като 100%. Процентите винаги могат да се запишат като дроб.

Процентът като част от цяло

Използваме проценти, когато искаме да изразим част от някакво цяло. С проценти можем да заменим изрази като „една четвърт от класа е получила двойка“ или „всеки втори човек е мъж“. Винаги имаме някакво цяло, например целия клас ученици, и казваме, че една четвърт от тях са получили двойка. Ако в класа има 32 ученици и една четвърт от тях са получили двойка, общият брой ученици с двойка е равен на:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{което е същото като}\frac{32}{4}=8$$

Във втория случай можем да имаме град, да кажем Габрово. Да приемем, че има около 60 000 жители. Ако всеки втори жител е мъж, това означава, че половината от тях са мъже, което записваме така:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{което е същото като}\frac{60000}{2}=30000$$

Бихме могли да кажем и че „всеки стотен човек в Габрово е математик“. Тогава в Габрово имаме $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ математици. „Всеки стотен“ е същото като „една стотна от жителите“.

Сега можем да въведем понятието процент. Един процент, който записваме 1%, означава една стотна от цялото. Това значи, че когато кажем „всеки стотен човек в Габрово е математик“ и „един процент от хората в Габрово са математици“, казваме едно и също. Един процент от цялото пресмятаме, като умножим цялото с $\frac{1}{100}$ или го разделим на 100, това е същото.

Процентите лесно можем да превръщаме в дроби и да работим с тях. Ако кажем, че „в Габрово x% от хората имат тъмна коса“, това е същото, като да кажем „в Габрово $\frac{x}{100}\cdot 60000$ души имат тъмна коса“. 100% тогава представлява цялото, т.е. всички жители. Изречението „100% от учениците са преминали в следващия клас“ означава, че са преминали всички ученици. Изречението „0% от учениците са останали в същия клас“ казва, че никой не е останал. Примери:

1. 35% от жителите на Габрово пътуват с автобус. Колко души пътуват с автобус? 35 % е същото като $\frac{35}{100}$ от цялото (= „тридесет и пет стотни от цялото“). Пресмятаме така: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Това лесно може да се пресметне, като първо разделим 60 000 на сто и този резултат умножим с 35. По същество правим това преобразуване:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Можем да си го представим така, че първо пресмятаме броя на жителите, който съответства на един процент: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. На един процент съответстват 600 жители. Ние искаме да знаем 35% от жителите, тоест остава само да умножим 600 по 35: 35 · 600 = 21 000.

2. Иван печели средно 80 евро на ден. Днес е спечелил само 75% от средната си заплата. Колко е спечелил Иван? Подходът е все същият. Цялото е 80, а 75% превръщаме в дроб $\frac{75}{100}$. Тази дроб можем да съкратим до дробта $\frac{3}{4}$. Умножаваме цялото с тази дроб:

   $$\frac{3}{4}\cdot 80=\frac{3\cdot 80}{4}=3\cdot 20=60$$

3. На следващия ден Иван си навакса и спечели 150% от средната си заплата. Колко е спечелил? Може ли изобщо да имаме повече от 100%, когато казахме, че 100% представлява цялото? Да, може. Както някой може да спечели „три пъти повече пари от обикновено“, така някой може да спечели 150% от средния си доход.

   Ще действаме по абсолютно същия начин. Превръщаме 150% в дроб $\frac{150}{100}$ и с тази дроб умножаваме средния доход на Иван, тоест 80:

   $$\frac{150}{100}\cdot 80=\frac{150\cdot 80}{100}=\frac{150\cdot 4}{5}=30\cdot 4=120$$

Процентите като тройно правило

Част от цяло, изразена с проценти, лесно можем да превърнем в тройно правило. Нека останем при Иван, който печели средно 80 евро на ден и днес е спечелил 75% от средната си заплата. Можем да го запишем с тройно правило така:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 80\text{ евро}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ евро}\end{array}$$

Тъй като става дума за права пропорционалност, получаваме:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{80}$$

Умножаваме уравнението с 80 и имаме:

$$\frac{75\cdot 80}{100}=x$$

И оттук лесно стигаме до резултата:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 80}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 4}{5}& =& x\\ x& =& 15\cdot 4\\ x& =& 60\end{array}$$

Виждаме, че получихме същото число.

А какво, ако знаем частта, а не знаем цялото?

В предишните примери винаги смятахме, че знаем точната стойност на цялото и трябва да пресметнем от нея определена част, зададена в проценти. Какво обаче, ако знаем точно частта, а цялото не знаем? Пример: Иван има 120 колекционерски картички с голямо зелено чудовище. Но въпреки че това е внушителен брой картички със зелени чудовища, той има само шестдесет процента от картичките на Мария. Колко картички има Мария?

Тук знаем частта, но не знаем цялото – него тепърва трябва да пресметнем. В този момент знаем, че 120 картички съответстват на 60% от картичките на Мария. За да разберем колко картички съответстват на един процент, е достатъчно да разделим сто и двайсет на шестдесет. Получаваме две: 120/60 = 2. Един процент от картичките всъщност са две картички със зелено чудовище. Тъй като пресмятаме цялото – а то винаги е 100% – умножаваме този брой картички със сто. И имаме 200 картички, което е верният резултат.

Можем да го проверим, като пресметнем 60% от 200: просто умножаваме

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Виждаме, че 60% от 200 е 120, което е точно броят на картичките със зелено чудовище, които има Иван.

Събиране на проценти

Когато трябва да решим задача с проценти, винаги е най-добре вместо с проценти да пресметнем точните стойности и после да ги съберем. Условието на задачата може да звучи някак така: Мартин получава 1500 €, Станислав 2000 €, а Люба 2500 €. Пресметни колко евро получава Симона, която получава 30% от това, което получава Мартин, плюс 40% от това, което получава Станислав, плюс 25% от това, което получава Люба.

Тук имаме три израза с проценти, но всеки израз идва от различно цяло. Мартин, Станислав и Люба получават различна сума пари. Затова първо пресмятаме 30% от заплатата на Мартин. Това е 1500/100 = 15. След това умножаваме 15 · 30 и получаваме 450. После идва ред на 40% от заплатата на Станислав. Това е 2000/100 = 20. Отново умножаваме с 40 и имаме 20 · 40 = 800. Последната част са 25% от Люба. Тя получава 2500, от което един процент е 2500/100 = 25. Като умножим с 25, получаваме 25 · 25 = 625. Сега остава само да съберем всички частични резултати: 450 + 800 + 625 = 1875. Симона получава 1875 евро, което е доста приличен доход.

Може обаче да ни се случи наистина да събираме проценти. Проценти можем да събираме само ако имат една и съща основа, едно и също цяло. Така че ако например Борис получава 20% от това, което получава Станислав, плюс 30% от това, което получава Станислав, можем да съберем процентите, защото основата е една и съща – и двата израза работят с основната заплата на Станислав. Резултатът е 20% + 30% = 50%. Борис получава половината от това, което получава Станислав, хиляда евро.

Коварното каскадно събиране на проценти

Сега си представи следната ситуация: Николай получава първата година 10 000 евро. Втората година обаче му вдигат заплатата с 30%. На следващата, третата година отново му вдигат заплатата, макар този път само с 10%. Въпросът е каква е заплатата на Николай сега?

При такива задачи изкушението да съберем процентите точно както в предишния случай е огромно. Нали все още – привидно – работим със същата основа, със заплатата на Николай. Така че пресмятаме 30% + 10% и го прибавяме към основната му заплата. Николай би получавал 14 000 евро. Но не е така. Нека го разгледаме.

През първата година е получавал 10 000. През втората година е получавал 10 000 + 30%. Което е 13 000, както със сигурност вече сам си пресметнал. А на следващата година му вдигат заплатата с десет процента. Но внимание! Основата вече не е онези десет хиляди, които е получавал първата година. Основата вече е тринайсет хиляди! А както знаем, проценти можем да събираме само ако процентите се пресмятат от една и съща основа. А в нашия случай основата е различна. Първия път е била 10 000, а сега е 13 000. Така че последната година Николай получава 13 000 + 10%, което е 14 300.

Решението с 14 000 не само беше грешно, но и ощетихме горкия Николай с 300 евро. Не бъди лош към Николай!

Купи си учебник по математика с отстъпка!

Класическа е и задачата с отстъпка. Представи си, че в магазина имат учебник по математика, който много искаш да получиш от Дядо Коледа за рождения си ден. Впрочем какво друго би искал, нали? :-)

Преди Коледа обаче книгата поскъпва с 20 %. Казваш си, че все пак ще почакаш и ще я купиш след Коледа. Постъпил си добре, защото след празниците магазинът намалява цената на книгата с 20 %. Въпросът е – струва ли книгата колкото преди поскъпването? Или струва повече/по-малко?

Здравият разум на някои хора отново подсказва, че книгата ще струва същото, но това не е вярно. Нека го пресметнем. Да кажем, че книгата е струвала 30 евро. Поскъпване с 20% означава, че книгата е поскъпнала с $\frac{20}{100}\cdot 30=6$ евро. Книгата е струвала 36 евро.

Но 20% отстъпка вече не се пресмята от основата 30, а от основата 36! Това означава, че книгата поевтинява с $\frac{20}{100}\cdot 36=7,2$ евро. Книгата след отстъпката струва 28,80 €.

(Но всъщност кой би купувал учебник по математика, когато тук е за теб „Математика на прост език“ ;-))

Промил

Промилът се използва най-често при измерване на алкохола в кръвта на водач. Някои хора погрешно смятат, че промилът е една хилядна от процента, но това е грешка, внимавай. Промилът е една хилядна от цялото. Иначе с промили се пресмята съвсем като с проценти. Ако искаш да намериш x промила от 5000, пресмяташ $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Вместо 100 в знаменателя на дробта е 1000. Три промила от 5000 е $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Промилът се означава със символа ‰. Изпълнено е $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Повече в отделната статия за промила.

Типография на процентите

В българските текстове знакът за процент се пише веднага след числото, без интервал: 100%. В някои други езици се пише с интервал (100 %) и там двата записа имат различен нюанс – „сто процента“ срещу „стопроцентов“, но в български такава разлика няма. Не се вълнувай, ако във вестниците го пишат различно :-).

Процентен пункт

Освен обикновените проценти можем да имаме и процентни пунктове. Каква е разликата? Представи си, че преди две години браузърът Firefox са използвали 20 % от хората, а тази година го използват вече 30% от хората. Какъв е ръстът между двете години? Грешка би било да кажем, че ръстът е десетпроцентен. Ако Firefox са използвали първо 20% от хората и после 30%, това означава, че сега го използват с половина повече хора, отколкото преди. Което означава петдесетпроцентен ръст.

Но пък е малко глупаво да казваме, че ръстът е 50%, когато за всички би било по-разбираемо, ако кажем, че броят на процентите се е повишил с десет. Точно за това имаме процентните пунктове. В този случай можем да кажем, че ръстът в използването на браузъра Firefox е десет процентни пункта. Процентните пунктове можем да използваме, когато искаме да изразим простата разлика между две процентни стойности.