Endelig grænseværdi i et uendeligt punkt

Grænseværdi af en funktion er et af de vigtigste begreber i matematisk analyse. Den beskriver, hvordan en funktion opfører sig i nærheden af et bestemt punkt, og derfor kan vi for eksempel definere kontinuitet af en funktion. Grænseværdien hjælper os med at forstå en funktions opførsel også de steder, hvor den slet ikke er defineret.

Endelig grænseværdi i et uendeligt punkt

Denne situation ligner grænseværdier af talfølger. Vi søger, hvilken grænseværdi funktionen har, når vi nærmer os uendelig. Grænseværdien kan enten være endelig eller uendelig. Vi begynder med den endelige grænseværdi.

Lad ∞ være et ophobningspunkt for definitionsmængden for funktionen f. Så er L ∈ ℝ grænseværdien af funktionen i punktet ∞, hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

og i punktet −∞, hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(x<A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$$

Hvad fortæller definitionen os? At hvis vi vælger en ϵ-omegn omkring den grænseværdi L, vi har i tankerne (altså på y-aksen), så kan vi altid på x-aksen finde et punkt A, så der gælder |f(x) − L| < ϵ, når vi tager et vilkårligt punkt x til højre for A, altså x>A, hvilket vil sige, at alle funktionsværdier ligger i en afstand fra grænseværdien L, der er mindre end ϵ.

Lad os tage funktionen f(x) = (2/x) + 1. Grafen:

Man kan se, at når vi med værdien x nærmer os uendelig, nærmer funktionsværdien f(x) sig en. Vi vælger derfor L = 1. Nu beviser vi, at L = 1 virkelig er grænseværdien af denne funktion i plus uendelig. Først prøver vi det af. Vi vælger et epsilon, for eksempel $ϵ=\frac{1}{2}$. Nu prøver vi at finde et A ∈ ℝ, så der gælder, at for alle x, som er større end A, ligger funktionsværdien i en afstand fra L, der er mindre end ϵ. Vi skitserer det på en figur:

At funktionsværdien f(x) ligger i en afstand fra punktet L, der er mindre end ϵ, betyder, at kurven, som beskriver funktionens graf, ligger mellem de røde streger. Nu skal vi finde grænsen A på x-aksen, fra hvilken denne betingelse er opfyldt. Det behøver ikke nødvendigvis at være den mindst mulige grænse, så vi kan for eksempel vælge A = 6.

Vi ser, at kurven, som beskriver grafen, efter grænsen A ligger helt mellem de røde streger, som markerer ϵ-afstanden fra L. Nu har vi vist det for ét bestemt ϵ. For at bevise, at L = 1 virkelig er grænseværdien, skal vi kunne bevise det for alle ϵ > 0.

Nu skal vi finde ud af, for hvilke A denne sammenhæng gælder:

$$x>A\Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Efter indsættelse:

$$x>A\Rightarrow |(\frac{2}{x}+1)-1|<ϵ.$$

Vi kan trække enerne fra:

$$x>A\Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right|<ϵ$$

Videre kan vi antage, at vi kun tager positive x (vi er interesseret i værdier af x, som nærmer sig plus uendelig), hvorved vi kan fjerne den numeriske værdi:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{x}<ϵ$$

Vi multiplicerer med x:

$$x>A\Rightarrow 2<x\cdot ϵ$$

Vi dividerer med ϵ:

$$x>A\Rightarrow \frac{2}{ϵ}<x$$

Med omskrivningerne har vi fundet ud af, at x skal være større end 2/ϵ. Så hvis vi for A vælger et tal, som er større end 2/ϵ, finder vi den grænse, vi søgte.

I det foregående forsøg valgte vi $ϵ=\frac{1}{2}$, så vi skal for A vælge et tal, som er større end $2/\frac{1}{2}=4$. Vi valgte A = 6, hvilket er i orden.