Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion sind die grundlegendsten mathematischen Operationen, die man auch im Alltag braucht. Obwohl man viele verschiedene Strukturen addieren kann, widmen wir uns hier nur der Addition ganzer Zahlen.
Addition
Die Operation der Addition wird mit dem Pluszeichen + gekennzeichnet. Bei der Addition addieren wir Summanden. Wenn wir also 2 + 3 berechnen wollen, heißen sowohl die Zwei als auch die Drei Summanden. Das Ergebnis ist dann die Summe, also ist die Fünf im Term 2 + 3 = 5 die Summe.
Addieren können wir praktisch beliebige Zahlen, ob natürliche wie 1, 5, 157 oder negative wie -4, -74. Weiter können wir rationale Zahlen, also Brüche, reelle Zahlen wie zum Beispiel π und schließlich auch komplexe Zahlen addieren. Addieren können wir auch weitere Strukturen – Matrizen oder Vektoren.
Die Addition wird gewöhnlich an einem Haufen Äpfel erklärt – wenn du drei Äpfel im Korb hast und dir jemand weitere vier Äpfel gibt, wie viele hast du dann? Du hast dann 3 + 4 = 7.
Wie man große Zahlen addiert
Wenn ich dir die Aufgabe geben würde, 17564 und 3272 zu addieren, würdest du das Ergebnis wahrscheinlich nicht einfach so im Kopf nennen können. Deshalb verwendet man entweder einen Taschenrechner oder Stift und Papier. Wie man das in den Taschenrechner eintippt, bringe ich dir nicht bei, konzentrieren wir uns auf das Vorgehen auf dem Papier.
Die Zahlen, die wir addieren wollen, schreiben wir untereinander und richten sie rechtsbündig aus – so, dass gleiche Stellen (Zehner, Hunderter, …) untereinander stehen. Unter beide Zahlen ziehen wir einen waagerechten Strich. Es würde also so aussehen:
Nun addieren wir die Zahlen, die untereinander stehen. Ist die Summe der Ziffern kleiner als zehn, schreiben wir die Summe einfach unter den Strich. Wir gehen von der rechten Seite aus vor, von der kleinsten Stelle. Als Erstes addieren wir also 4 + 2, das ergibt sechs. Die Sechs ist kleiner als zehn, also schreiben wir die Zahl sechs unter den Strich:
Wir machen weiter und addieren 6 + 7. Das ergibt 13, und das ist schon größer als zehn. Jetzt schreiben wir unter den Strich nur die Ziffer an der Einerstelle, das heißt, wir schreiben dort die Drei hin (wir ziehen von der Dreizehn den Zehner ab).
Was ist mit der Eins passiert, die wir abgeschnitten haben? Und was stellt sie dar? Jetzt rechnen wir mit der zweiten Spalte von rechts, die in der Zahl die Zehner darstellt. In Wirklichkeit haben wir also Zehner addiert, d. h. wir haben 60 + 70 = 130 gerechnet. Wir haben beschlossen, die Zahl 30 zu behalten, und 100 haben wir für später aufgehoben. Bis wann? Bis zum nächsten Schritt, bis zur nächsten Spalte. Im nächsten Schritt kommen wir zur Addition der Ziffern, die den Hundertern entsprechen. Und wir haben einen Hunderter zusätzlich, den wir bei der Addition der Zehner erhalten haben. Am einfachsten ist es also, diesen Hunderter im nächsten Additionsschritt dazuzuzählen.
Anstatt im nächsten Schritt 5 + 2 zu addieren, addieren wir also 5 + 2 + 1, wobei die Eins den Hunderter darstellt, den wir bei der Addition im vorigen Schritt erhalten haben. Das Gesamtergebnis ist acht, und das ist kleiner als zehn. Wir schreiben also die Acht unter den Strich.
In den nächsten Schritt geht kein zusätzlicher Tausender, also addieren wir nur 7 + 3 = 10. Diese Zahl ist nicht kleiner als zehn, also schreiben wir unter den Strich die letzte Ziffer, und die Eins geht weiter. Unter den Strich schreiben wir also die Null, und für den nächsten Schritt behalten wir einen zusätzlichen Zehntausender.
In der letzten Spalte haben wir nur in der ersten Zeile eine Ziffer. In der zweiten Zeile denken wir uns also eine Null und addieren 1 + 0, und wir dürfen nicht vergessen, die Eins aus dem vorigen Schritt dazuzuzählen: 1 + 0 + 1 = 2. Unter den Strich schreiben wir die Zwei.
Damit endet der Algorithmus, und wir haben die Summe der Zahlen 17564 + 3272.
Animation des schriftlichen Addierens
In die folgenden Felder kannst du zwei natürliche Zahlen eingeben und dir dann einfach die Animation des gesamten Vorgangs ansehen.
Grafische Darstellung der Addition
Die Addition können wir auf der Zahlengeraden grafisch darstellen. Die Zahlengerade ist eine Gerade, auf der alle Zahlen eingetragen sind. Sie kann so aussehen:
Wenn wir auf dieser Zahlengeraden die Addition zweier Zahlen veranschaulichen wollten, zum Beispiel 3+4, gingen wir so vor: Wir zeichnen eine Strecke, die im Ursprung, also in der Null, beginnt und bei der Drei endet. Bei der Addition richten wir die Strecke nach rechts vom Punkt, an dem wir begonnen haben. Also so:
Nun tragen wir auf der Zahlengeraden die Vier ab. Jetzt beginnen wir aber schon bei der Zahl drei und führen von dort eine Strecke der Länge vier nach rechts. So:
Der Punkt, in dem die zweite, grüne Strecke endete, stellt das Endergebnis dar: 3 + 4 = 7.
Subtraktion
Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition. Wenn du zu einer Zahl a die Zahl b addierst und anschließend die Zahl b wieder subtrahierst, erhältst du die Zahl a zurück. Das Vorgehen zeigen wir am Beispiel 158.748 − 99.575. Wie bei der Addition schreiben wir diese Zahlen untereinander:
Unter den Strich schreiben wir das Ergebnis, genau wie bei der Addition. Wir gehen von rechts vor, von den kleinsten Stellen. Als Erstes rechnen wir also die Einer. Ist die obere Zahl nicht kleiner als die untere Zahl, schreiben wir unter den Strich die Differenz obere Zahl − untere Zahl. (Oder umgekehrt – ist die untere Zahl kleiner oder gleich, können wir unbesorgt subtrahieren.) An der Einerstelle ist die obere Zahl nicht kleiner, also schreiben wir die Differenz 8 − 5 = 3.
Wir rücken um eine Stelle nach links, wir sind bei den Zehnern. Hier ist die obere Zahl schon kleiner als die untere Zahl. Jetzt addieren wir zur oberen Zahl einen Zehner und führen dann die gleiche Rechnung aus: obere Zahl + 10 − untere Zahl. Das Ergebnis ist 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Bei der Subtraktion der Zehner haben wir uns jetzt damit geholfen, dass wir dort zehn Zehner dazugerechnet haben, also müssen wir im nächsten Schritt daran denken. Zehn Zehner sind ein Hunderter, also subtrahieren wir im nächsten Schritt einen Hunderter mehr. Das heißt, dass wir zur unteren Fünf die Eins aus dem vorigen Schritt addieren.
An der Hunderterstelle fragen wir uns also, ob die Sieben (obere Zahl) kleiner ist als die Sechs (untere Zahl + 1). Das ist sie nicht, also können wir die übliche Differenz obere minus untere berechnen. Auch bei dieser Differenz müssen wir aber zur unteren Zahl die Eins addieren, also haben wir im Ergebnis 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
In den nächsten Schritt übertragen wir nichts, in diesem Schritt mussten wir uns keine höheren Stellen ausleihen. An der Tausenderstelle addieren wir also nichts dazu. Es gilt aber, dass die Acht in der oberen Zahl kleiner ist als die Neun in der unteren Zahl, also müssen wir zur oberen Zahl einen Zehner addieren. Wir erhalten so die Differenz 8 + 10 − 9 = 9.
In den nächsten Schritt übertragen wir eine Eins, wir addieren sie zur unteren Zahl. Neun plus eins ist zehn, die obere Fünf ist kleiner als zehn. Zur oberen Zahl addieren wir zehn und bilden die Differenz: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Wieder haben wir uns mit einer höheren Stelle geholfen, also übertragen wir eine Eins in den nächsten Schritt. Dort fehlt uns im unteren Teil eine Zahl, also nehmen wir eine Null an. Wenn wir die Eins addieren, erhalten wir als Ergebnis eins. Die obere Zahl ist nicht kleiner als die untere (jetzt ist die obere Zahl gleich der unteren), also können wir einfach subtrahieren: 1 − 1 = 0.
Und wir haben das Ergebnis. Die Null am Anfang können wir weglassen und schreiben: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Grafische Darstellung der Subtraktion
Die Subtraktion können wir genau wie die Addition auf der Zahlengeraden darstellen. Nur beim Abtragen der Strecke ändern wir ihre Richtung. Wir tragen die Strecke nicht nach rechts vom aktuellen Punkt ab, sondern nach links. Wenn wir also 2 − 5 berechnen sollten, gingen wir so vor. Zuerst würden wir auf der Zahlengeraden die Zwei in positiver Richtung abtragen, weil die Zwei positiv ist. Wir subtrahieren die Fünf, die wird umgekehrt abgetragen.
Nun tragen wir in die Gerade die zweite Strecke ein, die minus fünf darstellt. Wir beginnen im Punkt, in dem wir aufgehört haben, also bei der Zwei. Die Strecke zeichnen wir aber in die Gegenrichtung, nach links.
