Division von Zahlen

Die Division von Zahlen ist die Umkehrung der Multiplikation von Zahlen. Außerdem ist die Division eine gute Quelle für Humor, denn wie jeder weiß, dürfen wir nicht durch null teilen, weil uns sonst das Heft verbrennen würde.

Was ist die Division von Zahlen

Die Division können wir uns als Aufteilung eines großen Ganzen in gleich große kleinere Stücke vorstellen. Nehmen wir einen Vater, der ein Brett der Länge 100 cm in fünf gleich große Stücke zersägen muss. Wie groß werden die einzelnen Stücke sein?

Wir können auch umgekehrt vorgehen – wenn wir die Längen aller fünf abgesägten Teile addieren, muss wieder die Zahl 100 herauskommen. Welche Zahl erfüllt das? Es ist die Zahl 20, denn 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Statt der Addition können wir auch die Multiplikation verwenden. Wir können fragen, welche Zahl mit fünf multipliziert hundert ergibt. Wieder die Zahl 20, denn 5 · 20 = 100.

Grafisch könnten wir das als Aufteilung einer Strecke der Länge 100 in fünf gleich lange Teile darstellen:

Wenn wir die Zahl 100 durch die Zahl 5 teilen wollen, finden wir heraus, „wie oft die Zahl fünf in die Zahl hundert passt“. Die Division schreiben wir entweder mit einem Schrägstrich: 100 / 5 oder mit einem Doppelpunkt: 100 : 5. Das Ergebnis der Division zweier Zahlen ist der Quotient. In unseren Beispielen ist die Zahl 20 der Quotient der Zahlen 100 und 5. Die Zahl links heißt Dividend, die Zahl rechts Divisor. Die Division können wir auch mit einem Bruch schreiben, statt 100 / 5 können wir $\frac{100}{5}$ schreiben. Zusammenfassung der Bezeichnungen:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a heißt Dividend,
• b heißt Divisor,
• c heißt Quotient.

Definition mithilfe der Multiplikation

Den Quotienten können wir am einfachsten mithilfe der Multiplikation definieren. Nehmen wir als Beispiel den Quotienten dieser Zahlen: 35 / 7. Was ist das Ergebnis? Wir suchen eine Zahl, die wir mit 7 multiplizieren müssen, um die Zahl 35 zu erhalten. Wenn wir 48 / 8 rechnen würden, würden wir eine Zahl suchen, die mit 8 multipliziert die Zahl 48 ergibt.

Das Ergebnis von 35 / 7 ist also die Zahl 5, denn 7 · 5 = 35. Das Ergebnis von 48 / 8 ist die Zahl 6, denn 8 · 6 = 48.

Wenn wir allgemein a / b rechnen, dann ist das Ergebnis die Zahl c, für die b · c = a gilt.

Obwohl wir alle Beispiele an natürlichen Zahlen gezeigt haben, können wir dank der Definition mithilfe der Multiplikation auch beliebige andere Zahlen teilen. Wir können zum Beispiel den Quotienten −85,76 / 6,7 finden, indem wir die Zahl x suchen, für die 6,7 · x = −85,76 gilt. Das gilt für x = −12,8.

Null können wir durch eine andere Zahl teilen

Null können wir durch eine Zahl teilen, dies ist ein gültiger Term: 0 / 15. Im Grunde sagen wir damit, dass wir null in 15 gleiche Teile aufteilen wollen. Wir können uns das so vorstellen, dass wir keinen Kuchen haben und diesen Kuchen, den wir nicht haben, in 15 Teile aufteilen wollen – wie groß werden die einzelnen Teile? Sie werden null sein, weil wir einfach keinen Kuchen haben. Oder stell dir vor, du hast null Euro im Geldbeutel und willst diese null Euro auf drei Kinder verteilen. Wie viel bekommt jedes Kind? Es bekommt gar nichts, weil du einfach nichts hast. Deshalb gilt 0 / 15 = 0.

Null durch eine andere Zahl teilen können wir, aber eine andere Zahl durch null teilen können wir nicht. Dieser Term ist ungültig: 8 / 0.

Warum können wir aber nicht durch null teilen?

Durch null teilen dürfen wir nicht, weil es uns das elfte Gebot verbietet.

Aber es gibt auch stichhaltigere Gründe. Zunächst interessiert uns der Fall, dass der Dividend ungleich null ist – die Division hat die Form a / 0, wobei a ≠ 0. Wir zählen zwei Gründe auf:

1. Bleiben wir bei der Analogie mit der Aufteilung eines Ganzen in kleinere, gleich große Teile. Wir haben 15 der gemeinsten Pokémon. Nun wollen wir sie auf null Kinder verteilen. Wie viele Pokémon bekommt jedes Kind?

Hä???

Ja, du liest die Aufgabe richtig und ja, sie ergibt keinen Sinn. Wir können nicht fragen, wie viele Pokémon jedes Kind bekommen hat, wenn wir gar kein Kind hatten, dem wir die Pokémon geben könnten. Deshalb ergibt auch die Division durch null keinen Sinn und deshalb sagen wir, dass der Term x / 0 nicht definiert ist.

2. Die Division haben wir mithilfe der Multiplikation eingeführt. Wenn wir versuchen, durch null zu teilen, 15 / 0, suchen wir eine Zahl x, für die x · 0 = 15 gilt. Nur ist alles mal null gleich null, wir werden nie ein x finden, für das diese Gleichung erfüllt wäre.

Und was ist mit dem Quotienten 0/0?

Er ist genauso nicht definiert wie x / 0. Gründe:

Diesmal haben wir null der gemeinsten Pokémon, die wir auf null Kinder verteilen wollen. Das ist wieder eine unsinnige Forderung.

Nach der Definition der Division suchen wir bei 0 / 0 eine Zahl x, für die x · 0 = 0 gilt. Wir würden eine Lösung finden, genauer gesagt: Jede reelle Zahl ist eine Lösung dieser Gleichung. Ob wir für x die Zahl 4, 1 oder π einsetzen, die Gleichung ist immer erfüllt. Natürlich ist es nicht zulässig, dass das Ergebnis einer Division die ganze Menge der reellen Zahlen ist, das ergibt keinen Sinn.

Wir müssten aus der ganzen Menge eine einzige Zahl auswählen und sagen, dass genau diese Zahl das Ergebnis der Division 0 / 0 ist. Aber welche? Sollte es gleich eins sein? Acht? Null? Minus eins? Und warum? Versuchen wir, Argumente für die Null und für die Eins anzuführen:

1. Wir wissen: Wenn wir einen Bruch der Form x / x haben, dann ist dieser Bruch gleich eins. Zum Beispiel 7 / 7 = 1 oder 3 / 3 = 1. Daraus könnten wir ableiten, dass wir 0 / 0 so definieren sollten, dass 0 / 0 = 1 gilt.
2. Schauen wir uns diese Folge sicher gültiger Brüche an. In jedem von ihnen teilen wir null durch eine Zahl, die der Null immer näher kommt:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Wir sehen, dass wir, egal durch welche Zahl nahe bei null wir teilen, als Ergebnis des Quotienten immer null erhalten. Daraus könnten wir ableiten, dass 0 / 0 = 0 ist.

Das sind beides gültige Argumente, wie wir den Quotienten 0 / 0 definieren könnten. Aber welches ist besser? Selbst wenn wir eines davon wählen und zum einzig gültigen erklären würden, kämen wir letztlich zu einem Widerspruch mit anderen Teilen der Mathematik.

Deshalb lässt man die Division durch null lieber undefiniert.

Das letzte Argument gegen die Division durch null

Falls dir die bisherigen Argumente nicht genügen, überzeugt dich hoffentlich die folgende Fotodokumentation eines Falls, in dem jemand tatsächlich versucht hat, durch null zu teilen: