Rechner: Zinseszins

Wenn du Geld auf einem Sparkonto liegen lässt, schreibt dir die Bank Zinsen gut, und im nächsten Monat werden auch diese Zinsen verzinst. Das nennt man Zinseszins, und dank ihm wächst das Geld immer schneller. Legst du 4.000 € zu 4 % pro Jahr an und zahlst jeden Monat zusätzlich 80 € ein, hast du nach zehn Jahren über 17.700 €, obwohl du selbst nur 13.600 € eingezahlt hast.

Der Rechner rechnet so, wie es die meisten Sparkonten machen: Die Zinsen werden einmal monatlich gutgeschrieben, und der monatliche Zinssatz ist der zwölfte Teil des Jahreszinses. Die regelmäßige Einzahlung erfolgt immer am Monatsende, deshalb wird sie in dem Monat, in dem du sie überweist, noch nicht verzinst. Wenn du keine Einzahlungen möchtest, lass das Feld auf null.

So wird es berechnet

Der Rechner rechnet nach der Formel

$$K=c\cdot {(1+\frac{p}{1200})}^{12n}+m\cdot \frac{{(1+\frac{p}{1200})}^{12n}-1}{\frac{p}{1200}}$$

Dabei ist c die Anfangseinlage, p der Jahreszins in Prozent, n die Anzahl der Jahre und m die monatliche Einzahlung.

Ein Jahreszins von 4 % bedeutet monatlich 4:12 ≈ 0,333 %. Deshalb wird der Kontostand jeden Monat mit der Zahl $1+\frac{4}{1200}\approx \mathrm{1,003}33$ multipliziert. Nach zehn Jahren sind das 120 Monate. Die Anfangseinlage wächst also auf

$$4.000\cdot \mathrm{1,003}{33}^{120}\approx 5.963,33$$

Die monatlichen Einzahlungen bilden eine geometrische Folge: Die letzte Einzahlung wird gar nicht verzinst, die vorletzte einen Monat lang und die erste 119 Monate. Wir addieren sie mit einer Formel, und es ergibt sich

$$80\cdot \frac{\mathrm{1,003}{33}^{120}-1}{\mathrm{0,003}33}\approx 11.779,98$$

Insgesamt sind auf dem Konto 17.743,32 €. Eingezahlt hast du 4.000 + 120 · 80 = 13.600 €, die Zinsen machen also 4.143,32 € aus.

Eines rechnet der Rechner nicht: Von den Zinsen kann die Bank eine Steuer abziehen, die hier nicht berücksichtigt ist. Dann bleibt dir von den Zinsen entsprechend weniger. Wie schnell das Geld wächst, wenn du es verzinsen lässt und nichts abhebst, zeigt auch der Artikel über die unterjährige Verzinsung.