Vereinigung, Schnitt, Differenz und Komplement von Mengen

Mit Mengen können wir verschiedene Mengenoperationen durchführen. Zu den grundlegendsten gehören Vereinigung, Schnitt, Differenz und Komplement.

Vereinigung von Mengen

Die Vereinigung von Mengen bezeichnen wir mit dem Symbol ∪, die Vereinigung der Mengen A und B schreiben wir also klassisch: A ∪ B. Durch die Vereinigung der Mengen A und B entsteht eine neue Menge, die alle Elemente der Menge A und auch alle Elemente der Menge B enthält. Definition:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$

Ein Beispiel: Nehmen wir zwei Mengen A = {1; 3; 5; 7} und B = {2; 4; 6}. Durch die Vereinigung entsteht die Menge: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Die entstandene Menge enthält die Elemente beider Mengen.

Ein weiteres Beispiel: A = {1; 2; 3} und B = {2; 3; 4}. Durch die Vereinigung erhalten wir: A ∪ B = {1; 2; 3; 4}. Die Elemente 2 und 3 sind in der entstandenen Menge nicht doppelt, weil eine Menge ein Element nicht mehrfach enthält.

Weitere Eigenschaften:

• A ∪ A = A: Vereinigen wir zwei gleiche Mengen, erhalten wir wieder dieselbe Menge.
• A ∪ B = B ∪ A: Die Vereinigung ist kommutativ, die Reihenfolge spielt keine Rolle.
• A ∪ ∅ = A: Die leere Menge enthält kein Element, es gibt also nichts zu vereinigen.

Schnitt von Mengen

Durch den Schnitt zweier Mengen A und B entsteht eine neue Menge, die die Elemente enthält, die beide Mengen gemeinsam haben. Genauer würden wir sagen, dass die neue Menge die Elemente enthält, die zu A und zugleich zu B gehören. Den Schnitt bezeichnen wir mit dem Symbol ∩. Definition:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$

Beispiel: A = {1; 3; 5; 7; 9} und B = {4; 5; 6; 7}. Der Schnitt ist gleich A ∩ B = {5; 7}. Ein weiteres Beispiel: A = {a; b; c; d; e} und B = {f; g; h; i; j}. Der Schnitt ist gleich: A ∩ B = ∅. Diese Mengen haben kein gemeinsames Element, der Schnitt ist also die leere Menge.

Weitere Eigenschaften:

• A ∩ A = A: Der Schnitt zweier gleicher Mengen ergibt wieder dieselbe Menge.
• A ∩ B = B ∩ A: Der Schnitt ist kommutativ, die Reihenfolge spielt keine Rolle.
• A ∩ ∅ = ∅: Die leere Menge enthält kein Element, also hat sie sicher kein gemeinsames Element mit der Menge A.

Differenz von Mengen

Die Differenz von Mengen bezeichnen wir mit dem üblichen Minuszeichen − oder besser mit diesem schrägen Minus ∖. Unter der Differenz zweier Mengen A und B verstehen wir eine Menge, die alle Elemente aus A enthält und zugleich kein Element aus B. Du schaust dir einfach an, welche Elemente die erste Menge mit der zweiten gemeinsam hat, und diese entfernst du dann. Definition:

$$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Beispiel: A = {1; 2; 3; 4; 5} und B = {4; 5; 6; 7; 8}. Die Differenz ist dann gleich A ∖ B = {1; 2; 3}. Das sind die Elemente, die uns bleiben, wenn wir aus der Menge A alle Elemente entfernen, die in der Menge B sind. Ein weiteres Beispiel: A = {a; b; d; e}. Die Differenz A ∖ A = ∅.

Weitere Eigenschaften:

• A ∖ A = ∅: Ähnlich wie wir null erhalten, wenn wir zwei gleiche Zahlen voneinander abziehen (z. B. 5 − 5 = 0), erhalten wir die leere Menge, wenn wir zwei gleiche Mengen voneinander abziehen.
• A ∖ ∅ = A: Die leere Menge enthält kein Element, also können wir aus der Menge A kein Element entfernen.

Komplement einer Menge

Das Komplement einer Menge A wird auf verschiedene Weise bezeichnet, aber wohl am häufigsten mit einem Strich A' oder mit einem Querstrich darüber: $\bar{A}$. Der Einfachheit halber werde ich den Strich verwenden. Um das Komplement der Menge A zu berechnen, müssen wir wissen, in welcher Menge wir das Komplement bilden. Das Komplement einer Menge besteht nämlich aus allen Elementen, die nicht in der Menge A sind, es ist also eine Art Gegenteil der Menge A.

Haben wir als Grundmenge M = {1; 2; 3; …; 9; 10}, dann ist das Komplement der Menge A = {2; 4; 6; 8; 10} in M die Menge A' = {1; 3; 5; 7; 9}. Sie enthält alle Elemente aus M, die nicht in A sind. Wir können sagen, dass A' in M gleich M ∖ A ist.

Nehmen wir als Grundmenge die ganzen Zahlen, dann ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Das Komplement der Menge A = {1; 2; 3; 4} ist die Menge A' = {…; −3; −2; −1; 0; 5; 6; 7; …}.

Für das Komplement gilt: Wenden wir es zweimal an, erhalten wir die ursprüngliche Menge zurück. Zum Beispiel bei den ganzen Zahlen: Das Komplement der geraden Zahlen sind die ungeraden Zahlen. Und das Komplement der ungeraden Zahlen sind wieder die geraden Zahlen. Es gilt also A = A'' (Komplement des Komplements von A).