Πρόσθεση και αφαίρεση
Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι οι πιο βασικές μαθηματικές πράξεις, που χρειάζεται κανείς και στην καθημερινή ζωή. Παρόλο που μπορούμε να προσθέτουμε πολλά διαφορετικά αντικείμενα, εδώ θα ασχοληθούμε μόνο με την πρόσθεση ακεραίων αριθμών.
Πρόσθεση
Η πράξη της πρόσθεσης συμβολίζεται με το σύμβολο συν +. Στην πρόσθεση προσθέτουμε προσθετέους, οπότε αν θέλουμε να υπολογίσουμε το 2 + 3, τότε και το δύο και το τρία λέγονται προσθετέοι. Το αποτέλεσμα είναι το άθροισμα, δηλαδή το πέντε στην παράσταση 2 + 3 = 5 είναι το άθροισμα.
Μπορούμε να προσθέσουμε σχεδόν οποιουσδήποτε αριθμούς, είτε φυσικούς όπως 1, 5, 157 είτε αρνητικούς όπως -4, -74. Μπορούμε επίσης να προσθέσουμε ρητούς αριθμούς, δηλαδή κλάσματα, πραγματικούς αριθμούς όπως για παράδειγμα το π και τέλος ακόμη και μιγαδικούς αριθμούς. Μπορούμε να προσθέσουμε και άλλες δομές – πίνακες ή διανύσματα.
Η πρόσθεση συνήθως εξηγείται με ένα σωρό μήλα – αν έχεις στο καλάθι τρία μήλα και κάποιος σου δώσει άλλα τέσσερα, πόσα θα έχεις; Θα έχεις 3 + 4 = 7.
Πώς προσθέτουμε μεγάλους αριθμούς
Αν σου έδινα να προσθέσεις το 17.564 και το 3.272, μάλλον δεν θα έλεγες αμέσως το αποτέλεσμα με το μυαλό σου. Γι' αυτό χρησιμοποιούμε είτε υπολογιστή τσέπης είτε μολύβι και χαρτί. Πώς θα τα πληκτρολογήσεις στον υπολογιστή τσέπης δεν θα σε διδάξω, ας εστιάσουμε στη διαδικασία στο χαρτί.
Γράφουμε τους αριθμούς που θέλουμε να προσθέσουμε τον έναν κάτω από τον άλλον και τους στοιχίζουμε δεξιά – ώστε οι ίδιες τάξεις (δεκάδες, εκατοντάδες, …) να βρίσκονται η μία κάτω από την άλλη. Κάτω από τους δύο αριθμούς τραβάμε μια οριζόντια γραμμή. Θα φαίνεται έτσι:
Τώρα θα προσθέσουμε τα ψηφία που βρίσκονται το ένα κάτω από το άλλο. Αν το άθροισμα είναι μικρότερο από δέκα, απλώς γράφουμε αυτό το άθροισμα κάτω από τη γραμμή. Προχωράμε από τα δεξιά, από τη μικρότερη τάξη. Πρώτα λοιπόν προσθέτουμε 4 + 2, που κάνει έξι. Το έξι είναι μικρότερο από το δέκα, οπότε κάτω από τη γραμμή γράφουμε τον αριθμό έξι:
Συνεχίζουμε και προσθέτουμε 6 + 7. Αυτό κάνει 13, που είναι πια μεγαλύτερο από δέκα. Τώρα κάτω από τη γραμμή γράφουμε μόνο το ψηφίο της θέσης των μονάδων, δηλαδή γράφουμε εκεί το τρία (αφαιρούμε από το δεκατρία μια δεκάδα).
Τι έγινε με το ένα που κόψαμε και τι παριστάνει; Τώρα δουλεύουμε με τη δεύτερη στήλη από τα δεξιά, που στον αριθμό παριστάνει τις δεκάδες. Στην πραγματικότητα προσθέσαμε δεκάδες, δηλαδή προσθέσαμε 60 + 70 = 130. Αποφασίσαμε να κρατήσουμε το 30 και το 100 το αφήσαμε για αργότερα. Για πότε; Για το επόμενο βήμα, για την επόμενη στήλη. Στο επόμενο βήμα θα φτάσουμε στην πρόσθεση των ψηφίων που αντιστοιχούν στις εκατοντάδες. Και εμείς έχουμε μία εκατοντάδα παραπάνω, που πήραμε κατά την πρόσθεση των δεκάδων. Δεν κάνουμε λοιπόν τίποτα πιο απλό από το να προσθέσουμε αυτή την εκατοντάδα στο επόμενο βήμα της πρόσθεσης.
Έτσι, αντί να προσθέσουμε στο επόμενο βήμα 5 + 2, θα προσθέσουμε 5 + 2 + 1, όπου το ένα παριστάνει την εκατοντάδα που πήραμε στην πρόσθεση του προηγούμενου βήματος. Το συνολικό αποτέλεσμα είναι οκτώ, που είναι μικρότερο από δέκα. Γράφουμε λοιπόν κάτω από τη γραμμή το οκτώ.
Στο επόμενο βήμα δεν περνάει καμία επιπλέον χιλιάδα, οπότε προσθέτουμε μόνο 7 + 3 = 10. Αυτός ο αριθμός δεν είναι μικρότερος από δέκα, οπότε κάτω από τη γραμμή γράφουμε το τελευταίο ψηφίο και το ένα προχωράει παρακάτω. Κάτω από τη γραμμή γράφουμε λοιπόν μηδέν και για το επόμενο βήμα κρατάμε μία επιπλέον δεκάδα χιλιάδων.
Στην τελευταία στήλη έχουμε ψηφίο μόνο στην πρώτη γραμμή. Στη δεύτερη γραμμή φανταζόμαστε ένα μηδέν και προσθέτουμε 1 + 0, και δεν πρέπει να ξεχάσουμε να προσθέσουμε το ένα από το προηγούμενο βήμα: 1 + 0 + 1 = 2. Κάτω από τη γραμμή γράφουμε το δύο.
Έτσι ο αλγόριθμος τελειώνει και έχουμε το άθροισμα των αριθμών 17564 + 3272.
Κινούμενη εικόνα της διαδικασίας της πρόσθεσης στο χαρτί
Στα παρακάτω πεδία μπορείς να βάλεις δύο φυσικούς αριθμούς και μετά να απολαύσεις την κινούμενη εικόνα ολόκληρης της διαδικασίας.
Γραφική παράσταση της πρόσθεσης
Την πρόσθεση μπορούμε να την παραστήσουμε γραφικά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Ο άξονας είναι μια ευθεία πάνω στην οποία είναι σημειωμένοι όλοι οι αριθμοί. Μπορεί να μοιάζει έτσι:
Αν θέλαμε να απεικονίσουμε σε αυτόν τον άξονα την πρόσθεση δύο αριθμών, για παράδειγμα 3+4, θα προχωρούσαμε ως εξής: Θα σχεδιάζαμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που θα ξεκινούσε από την αρχή, δηλαδή από το μηδέν, και θα τελείωνε στο τρία. Στην πρόσθεση κατευθύνουμε το τμήμα προς τα δεξιά από το σημείο όπου ξεκινήσαμε. Δηλαδή έτσι:
Τώρα πάνω στον άξονα μεταφέρουμε το τέσσερα. Αυτή τη φορά όμως ξεκινάμε από το τρία και από εκεί φέρνουμε προς τα δεξιά ένα τμήμα μήκους τέσσερα. Έτσι:
Το σημείο όπου τελείωσε το δεύτερο, πράσινο, τμήμα παριστάνει το τελικό αποτέλεσμα: 3 + 4 = 7.
Αφαίρεση
Η αφαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης. Αν σε κάποιον αριθμό a προσθέσεις τον αριθμό b και μετά αφαιρέσεις τον αριθμό b, παίρνεις πίσω τον αριθμό a. Τη διαδικασία θα τη δείξουμε με το παράδειγμα 158748 − 99575. Όπως και στην πρόσθεση, γράφουμε αυτούς τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον:
Κάτω από τη γραμμή θα γράφουμε το αποτέλεσμα, όπως στην πρόσθεση. Προχωράμε από τα δεξιά, από τις μικρότερες τάξεις. Πρώτα λοιπόν θα υπολογίσουμε τις μονάδες. Αν ο πάνω αριθμός δεν είναι μικρότερος από τον κάτω αριθμό, γράφουμε κάτω από τη γραμμή τη διαφορά πάνω αριθμός − κάτω αριθμός. (Ή αλλιώς – αν ο κάτω αριθμός είναι μικρότερος ή ίσος, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε άφοβα.) Στη θέση των μονάδων ο πάνω αριθμός δεν είναι μικρότερος, οπότε γράφουμε τη διαφορά 8 − 5 = 3.
Μετακινούμαστε κατά ένα ψηφίο αριστερά, βρισκόμαστε στη θέση των δεκάδων. Εδώ ο πάνω αριθμός είναι ήδη μικρότερος από τον κάτω αριθμό. Τώρα προσθέτουμε στον πάνω αριθμό μια δεκάδα και μετά κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό: πάνω αριθμός + 10 − κάτω αριθμός. Το αποτέλεσμα θα είναι 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Τώρα, στην αφαίρεση των δεκάδων, βοηθηθήκαμε προσθέτοντας εκεί δέκα δεκάδες, οπότε πρέπει να το θυμόμαστε στο επόμενο βήμα. Δέκα δεκάδες είναι μία εκατοντάδα, άρα στο επόμενο βήμα αφαιρούμε μία εκατοντάδα παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι στο κάτω πέντε προσθέτουμε το ένα από το προηγούμενο βήμα.
Στη θέση των εκατοντάδων εξετάζουμε λοιπόν αν το εφτά (πάνω αριθμός) είναι μικρότερο από το έξι (κάτω αριθμός + 1). Δεν είναι, οπότε μπορούμε να κάνουμε την κανονική διαφορά πάνω μείον κάτω. Και στη διαφορά όμως πρέπει να προσθέσουμε το ένα στον κάτω αριθμό, οπότε στο αποτέλεσμα έχουμε 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Στο επόμενο βήμα δεν μεταφέρουμε τίποτα, σε αυτό το βήμα δεν χρειάστηκε να δανειστούμε από ανώτερες τάξεις. Στη θέση των χιλιάδων δεν προσθέτουμε λοιπόν τίποτα σε τίποτα. Ωστόσο το οκτώ στον πάνω αριθμό είναι μικρότερο από το εννιά στον κάτω αριθμό, οπότε θα πρέπει να προσθέσουμε στον πάνω αριθμό μια δεκάδα. Παίρνουμε έτσι τη διαφορά 8 + 10 − 9 = 9.
Στο επόμενο βήμα μεταφέρουμε το ένα και το προσθέτουμε στον κάτω αριθμό. Εννιά συν ένα κάνει δέκα, το πάνω πέντε είναι μικρότερο από το δέκα. Στον πάνω αριθμό προσθέτουμε δέκα και κάνουμε τη διαφορά: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Και πάλι βοηθηθήκαμε από ανώτερη τάξη, οπότε μεταφέρουμε το ένα στο επόμενο βήμα. Εκεί στο κάτω μέρος μας λείπει ο αριθμός, οπότε υποθέτουμε μηδέν. Όταν προσθέσουμε το ένα, παίρνουμε αποτέλεσμα ένα. Ο πάνω αριθμός δεν είναι μικρότερος από τον κάτω (τώρα ο πάνω αριθμός είναι ίσος με τον κάτω), οπότε μπορούμε απλά να αφαιρέσουμε: 1 − 1 = 0.
Και έχουμε το αποτέλεσμα. Το μηδέν στην αρχή μπορούμε να το διαγράψουμε και να γράψουμε: 158748 − 99575 = 59173.
Γραφική παράσταση της αφαίρεσης
Την αφαίρεση, όπως και την πρόσθεση, μπορούμε να την παραστήσουμε στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Απλώς, όταν μεταφέρουμε το τμήμα, αλλάζουμε την κατεύθυνσή του. Δεν μεταφέρουμε το τμήμα προς τα δεξιά από το τρέχον σημείο, αλλά προς τα αριστερά. Αν λοιπόν είχαμε να υπολογίσουμε 2 − 5, θα προχωρούσαμε ως εξής. Πρώτα θα μεταφέραμε στον άξονα το δύο, στη θετική κατεύθυνση, επειδή το δύο είναι θετικό. Αφαιρούμε το πέντε, αυτό θα πάει αντίστροφα.
Τώρα στον άξονα βάζουμε το δεύτερο τμήμα, που θα παριστάνει το μείον πέντε. Ξεκινάμε από το σημείο όπου καταλήξαμε, δηλαδή από το δύο. Το τμήμα όμως το σχεδιάζουμε προς τα πίσω, προς τα αριστερά.
